Exponentielle de matrice

par **surf-555** » 16 Jan 2007, 18:22

Soit s un endomorphisme diagonalisable avec l1,.......,lr ses valeurs propres et E1,.........,Er ses sous espaces propres.
J'aimerai savoir si tout vecteur propre de exps est vecteur propre de s?Si exps est diagonalisable, est il vrai que s est diagonalisable?
Je dois en déduire que s->exps determine une bijection de S sur S+...

merci d'avance

:doh:

par **fahr451** » 16 Jan 2007, 19:25

1) si s est diagonalisable exp s l est aussi ds la même base

donc les sous espaces propres sont les mêmes; par conséquent tout vectreur propre de exp s est aussi vecteur propre de s

par **surf-555** » 16 Jan 2007, 22:30

Je veux bien mais vous auriez pas une piste à me donner pour démontrer le résultat parce que je bloque complètement?
merci d'avance....

par **fahr451** » 16 Jan 2007, 22:34

on a déjà répondu quelque part

dans une base B de diagonalisation de s
Mat(s,B) = D = diag (l1,...,ln) diagonale donc

Mat(s^k/k! ,B) = D^k /k!

donc en sommant d abord somme partielle puis passage à la limite

Mat (exp s , B ) = exp D = diag ( exp l1,...exp ln) diagonale
ce qui prouve que exps est diagonalisable ds la même base ce qui prouve l 'égalité des sous espaces propres.

par **surf-555** » 16 Jan 2007, 22:39

oui merci pour ce sens en fait j'ai pas eu trop de probleme pour celui la mais c'est l'autre sens qui me pose beaucoup plus de problème .......

par **fahr451** » 16 Jan 2007, 22:42

hum hum

en voyant S ... d 'emblée on se limiterait pas aux endomorphismes s symétriques ?

par **fahr451** » 16 Jan 2007, 22:43

hum hum

en voyant S ... d 'emblée on se limiterait pas aux endomorphismes s symétriques ?
d 'ailleurs comment as tu défini exp s quand s n 'est pas diagonalisable ?

tu connais les séries de fonctions ?

par **surf-555** » 16 Jan 2007, 23:02

en fait vous avez raison on se limite pas aux endomorphismes symétrique .
On définit uk=i+s+.............+s^k/kk!=Pk(s)
en fait exps c'est la limite de (uk) lorqu'elle existe pour la norme infinie;cette derniere étant indépendante du choix de la base.

oui j'ai vu les séries de fonctions ....

est-ce plus clair?

par **fahr451** » 17 Jan 2007, 08:41

l'application exp n'est pas injective car le log n'est pas unique en général.
en revanche exp de S sur S++ est bijective ça oui c'est facile.

en prenant une norme subordonnée ( équivalente à ll llinf car en dimension finie) on voit que l exp existe pour tout endomorphisme car la série converge normalement.

par **fahr451** » 17 Jan 2007, 08:55

pour en revenir à ta question dans C

exp s diagonalisable => s diagonalisable est vraie

par **surf-555** » 17 Jan 2007, 18:33

ah ok merci

par **fahr451** » 17 Jan 2007, 18:49

la démo utilise la décomposition de jordan s = d +n ( ce n' 'est donc pas si immédiat)

Exponentielle de matrice

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