Exponentielle de matrice

[vanderdonckt]

Bonjour,

J'ai quelques question concernant les exponentielles de matrices :

1) J'aimerais établir l'inégalité suivante :
Soient .

(la norme étant supposée sous-multiplicative).

2) J'aimerais montrer que où désigne le spectre de A.
Dans le cas où le polynôme caractéristique de est scindé (dans en particulier sur ), le résultat découle de la décomposition de Dunford. Mais comment montrer cela sur dans le cas où le polynôme caractéristique n'est pas scindé ?

3) J'aimerais montrer que diagonalisable diagonalisable et en déduire que diagonalisable et .

4) De manière plus générale, auriez-vous de bonnes références (livres de préférence) dans lesquels je pourrais trouver un cours complet sur les exponentielles de matrices ? Je n'ai trouvé que des livres de prépa MP où seules les bases vraiment basiques y sont traitées. Mais pour le reste, je ne parviens pas à trouver de livre où cela est fairt correctement...

Merci d'avance pour votre aide !

[GaBuZoMeu]

La question 1 est traitée ici.

Pour la question 2, passe sur . Si tu restes sur , ça coince : regarde ce qui se passe pour la matrice

[Tuvasbien]

Pour la 2) tu peux trigonaliser ta matrice sur . Pour la 3), si est diagonalisable, soit et diagonale telles que , alors et est diagonale donc est diagonalisable. Si on suppose réciproquement diagonalisable, on écrit la décomposition de Dunford de : avec diagonalisable, nilpotente et . On va donc montrer que , et commutent donc , or est diagonalisable (car l'est), et commutent donc est nilpotente et et commutent. Comme est diagonalisable on a par unicité de la décomposition de Dunford puis car est inversible. Soit l'indice de nilpotence de , alors , si alors donc car , ainsi ce qui n'est pas car . Finalement donc et est diagonalisable.

[vanderdonckt]

La question 1 est traitée ici.

Ok, merci.

Mais du coup, on suppose connu que est continue...
En fait, je voulais me servir de cette inégalité pour montrer la continuité de l'exponentielle de matrice (sans passer par la différentiabilité).

Dans beaucoup de sources, ils invoquent simplement la convergence normale de la série exponentielle pour prouver la continuité... Mais je ne vois pas ce qui signifie convergence normale dans ce cas...
Je sais que la série converge normalement sur puisque la rayon de convergence de vaut , et que cela implique donc (en particulier) la continuité de la fonction sur .
Je sais aussi que la série converge absolument sur (i.e. que la série converge). Mais que signifie convergence normale dans ce cas ? Et pourquoi cela impliquerait-il la continuité ?

Pour la question 2, passe sur . Si tu restes sur , ça coince : regarde ce qui se passe pour la matrice

Merci.
Effectivement, dans cet exemple, n'admet pas de valeurs propres réelles alors que l'on a .
Donc, si je comprends bien, sur , l'hypothèse que le polynôme caractéristique de soit scindé est indispensable, c'est bien ça ?

[vanderdonckt]

Pour la 2) tu peux trigonaliser ta matrice sur . Pour la 3), si est diagonalisable, soit et diagonale telles que , alors et est diagonale donc est diagonalisable. Si on suppose réciproquement diagonalisable, on écrit la décomposition de Dunford de : avec diagonalisable, nilpotente et . On va donc montrer que , et commutent donc , or est diagonalisable (car l'est), et commutent donc est nilpotente et et commutent. Comme est diagonalisable on a par unicité de la décomposition de Dunford puis car est inversible. Soit l'indice de nilpotence de , alors , si alors donc car , ainsi ce qui n'est pas car . Finalement donc et est diagonalisable.

Merci beaucoup.

[GaBuZoMeu]

On montre que l'exponentielle de matrice est continue par le fait que la série qui la définit converge normalement sur tout compact, disons sur toute boule fermée . La convergence normale entraîne la convergence uniforme.
Revois la définition de convergence normale si tu n'es pas au clair dessus.

[vanderdonckt]

Ok, merci. C'est la partie"dans toute boule fermée" qu'il me manquait...

Sinon, en parlant de convergence normale, pourrait-on exploiter ce fait pour montrer que l'exponentielle de matrice est (ou même simplement ) sans avoir à calculer explicitement la différentielle ?
J'ai cherche, dans une preuve de la surjectivité de l'exponentielle de matrice, à utiliser le théorème d'inversion locale en . J'ai besoin pour cela d'avoir :
- de classe ;
- (ce point se montre facilement "à la main" sans avoir besoin de l'expression de la différentielle en tout point).

Y-a-t-il un moyen simple (et rapide) de montrer que est ?

[vanderdonckt]

P.S. : Encore une dernière question (après ça devrait être bon ...) :

Je suis tombé sur le résultat suivant : .
Dans le cas des nombres réels, c'est facile en passant au logarithme.
Mais comment faire dans le cas matriciel ?

J'ai essayé comme ceci :


Sans le facteur , on retrouve bien en faisant . Mais comment faire "disparaître" ce facteur ?

[LB2]

Ok, merci. C'est la partie"dans toute boule fermée" qu'il me manquait...

Sinon, en parlant de convergence normale, pourrait-on exploiter ce fait pour montrer que l'exponentielle de matrice est (ou même simplement ) sans avoir à calculer explicitement la différentielle ?
J'ai cherche, dans une preuve de la surjectivité de l'exponentielle de matrice, à utiliser le théorème d'inversion locale en . J'ai besoin pour cela d'avoir :
- de classe ;
- (ce point se montre facilement "à la main" sans avoir besoin de l'expression de la différentielle en tout point).

Y-a-t-il un moyen simple (et rapide) de montrer que est ?

Oui, puisque exp est définie comme une série de fonctions c1 (et même C infinie) qui converge normalement sur tout ce que tu souhaites

[Tuvasbien]

P.S. : Encore une dernière question (après ça devrait être bon ...) :

Je suis tombé sur le résultat suivant : .
Dans le cas des nombres réels, c'est facile en passant au logarithme.
Mais comment faire dans le cas matriciel ?

J'ai essayé comme ceci :


Sans le facteur , on retrouve bien en faisant . Mais comment faire "disparaître" ce facteur ?

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