Exercices anneaux

[Aispor]

Bonjours,
j'ai deux questions,

La première :
Je cherche un contre exemple.
Soit A et B deux anneaux, un morphisme d'anneau, et un idéal bilatère de A tel que ne soit pas un idéal bilatère de B

Pour cela, ne doit pas être surjective.

La deuxième :
Voici l'exercice :



Pour la question 1, c'est appliqué la définition de sous-anneau en remarquant que le produit de deux éléments dans reste dans

Pour la question 2, j'ai fait quelque chose qui me paraît juste, mais je vous le montre quand-même car je suis pas très à l'aise en arithmétique.

Montrons que {}
En effet, remarquons que ,
Si
Alors
donc
et {}

Réciproquement, si et
Alors, en écrivant comme produit de nombres premiers distincts des
et écrivant comme produit de nombre premiers avec certains égaux à
Alors on remarque que ne peut s'écrire sous la forme d'un élément de A.

La réciproque est-elle bien expliquée ? ^^


Pour la question 3 :
Il suffit de montrer que est un idéal de A, et procéder par une double inclusion qui va vite =)


Merci d'avance !

[Ben314]

Salut,
Pour le contre exemple, ben on peut difficilement faire plus simple : tu prend le truc le plus simple possible comme morphisme d'anneau non surjectif qui est évidement le morphisme d'inclusion A->B ; x->x où A est un sous anneau de B, et pour prendre le plus simple du plus simple, on peut prendre A= et B=.
Ensuite, c'est quoi les idéaux de ? et ceux de ?

Sinon, concernant la réciproque, non, ça ne va pas du tout : arrivé au niveau "supérieur", ben il serait peut être temps de comprendre un truc vu au collège, à savoir qu'un nombre rationnel, ben son écriture sous forme n'est pas unique. Donc quand tu écrit que "on remarque que ne peut s'écrire sous la forme d'un élément de A" ben c'est pas suffisant du tout : certes, UNE DES écritures de , c'est qui n'est pas de la forme avec et , mais qu'est ce qui te prouve qu'AUCUNE des écritures de n'est de cette forme là ?

Bref, ce que tu raconte, ça semble aussi futé que si tu disait que n'est pas entier vu qu'il n'est pas écrit sous la forme avec .

[Aispor]

Ah merci, donc en utilisant
prenons qui est un idéal de
est non réduit à et n'est pas égal à
Ce ne peut donc être un idéal de
Car les seuls idéaux de Q sont Q et {0}

[Aispor]

Nan enfaite pour la dernière question je vois pas

[Aispor]

Personne ?

[Ben314]

Pour l'exercice 2), LA constatation à faire, c'est que, vu sa définition, non seulement le produit de deux éléments de est dans , mais aussi que tout diviseur d'un élément de est aussi dans .
Et ça signifie que si (donc avec et ) et qu'on écrit le même sous forme de fraction irréductible alors on a vu que divise . Et ça permet de dire que les éléments sont non seulement ceux qui admettent UNE écriture de la forme avec et mais que c'est en fait c'est ceux dont LA écriture irréductible est telle que et .

Ensuite et seulement ensuite, tu peut dire que si () est un élément non nul de sous forme irréductible alors son inverse est lui aussi sous forme irréductible donc cet inverse est dans si et seulement si . Donc c'est l'ensemble des qui, sous forme irréductible, sont tels que .
Et évidement bien noter qu'une fraction peut parfaitement être dans alors que et ne sont pas dans . Par exemple est évidement dans alors que .

Et la question 3, c'est du "totalement couillon" :
- On peut éventuellement commencer par vérifier (trivial) que, vu que et on a .
- Ensuite, un quelconque de est dans l'idéal engendré par de ssi il s'écrit avec c'est à dire ssi il s'écrit avec et c'est à dire ssi il s'écrit avec et .

[Aispor]

Un grand merci !