Exercice de topologie

[Elvis]

Bonjour à tous,

Me voilà confronté à un problème d'algèbre. J'ai fait le plus gros mais j'ai juste besoin d'un petit coup de main.

On considère S8 (groupe des bijections de 1 ... 8 dans lui-même).
Montrer qu'il n'existe pas dans S8 de sous-groupe cyclique d'ordre 9, ni de 14.
Montrer que S8 contient un sous-groupe d'ordre 14, le groupe diédral D14.

Pour montrer que S8 ne contient pas de ss-groupes cycliques d'ordre 9, est-ce que ça suffit de dire que S8 n'a pas d'élément d'ordre 9 ?

Pour ce qui est de D14, là je ne suis vraiment pas sur de mon coup. Voilà ce que j'ai fait : comme D14 est l'ensemble des isométries qui préserve un polygone régulier à 7 côté, j'ai dit qu'il y avait donc un point fixe (puisqu'on est dans S8). Les 7 autres points forment donc un 7-cycle (pas sur là ... :hum: ). Donc D14 représente l'ensemble des 7-cycles de S8 (et D14 est d'ordre 14).

Ca va ou je peux tout recommencer ?? :id:

[ThSQ]

On considère S8 (groupe des bijections de 1 ... 8 dans lui-même).
Montrer qu'il n'existe pas dans S8 de sous-groupe cyclique d'ordre 9

Je fais juste celui-là et je re-tourne bosser mon cours (colle de demain :briques:).

si G= avec a d'ordre 9. On décompose a en un produit de cycles disjoints.
L'odre de a c'est le ppcm des ordres du cycle. C'est donc des cycles d'ordres 1, 3 ou 9. Ca peut pas être 9 (9 > 8 !!! trophor le gars). Mais le produit de cycles disjpoints d'ordre 1 ou 3 est d'ordre 3 < 9.


Euh, pkoi un exo de topologie ???

[Elvis]

Effectivement, c'est pas vraiment de la topologie. Désolé pour la fausse joie !
Mais, ce que je ne comprend pas, c'est que si le groupe cyclique d'ordre n est engendré par l'élément a, alors a doit être forcément d'ordre n, non ? (Sinon, comment peut-il engendrer tous les éléments ?)
Et pour le groupe diédral, ça a l'air de tenir la route ?

[Elvis]

Toujours pas de volontaire pour m'éclairer ??

[ThSQ]

Effectivement, c'est pas vraiment de la topologie. Désolé pour la fausse joie !

J'adore autant la topologie que l'algèbre (et beaucoup plus que ces s*l*peries de courbes paramétrées :mur: :marteau: )). Y'avait une typo dans mon post, sorry.

Quant à D14, je trouve ça bizarre que tous les éléments soient d'ordre 7 (ou bien j'a rien compru ...) vu qu'il y en a d'ordre 2 (les symétries axiales), non ???

[Elvis]

C'est vrai que c'est douteux comme démo. Enfin, quand je parlais de l'ordre = 14, c'était celui du groupe, pas des éléments.
Et est-ce que ça serait possible d'expliciter ce passage :

Mais, ce que je ne comprend pas, c'est que si le groupe cyclique d'ordre n est engendré par l'élément a, alors a doit être forcément d'ordre n, non ? (Sinon, comment peut-il engendrer tous les éléments ?)

Merci bien et bon courage pour la colle de demain !!

[ThSQ]

Merci ! J'aurai besoin d'un peu de chance sûrement


Pour D_14 je crois que c'est pas dur en fait.

S_8 contient une "rotation" d'ordre 7 (un cycle comme s=(1 2 3 4 5 6 7)) et une "symétrie" (par ex r qui échange 1 2 3 avec 5 6 7 et laisse 7 inchangé). Je pense que D_14=

[Elvis]

Merci beaucoup pour les explications, ça va beaucoup mieux !
Bon courage pour demain.