Ben314 a écrit:pour parler de continuité d'une fonction de dans , il faut évidement avoir une topologie sur les deux espaces.
ArtyB a écrit:Merci de ta réponse Ben314,
En quoi est-ce que ça n'est pas possible ?
Je continue à hésiter vu que, si on considère uniquement que la topologie est induite par la norme donnée (sans savoir qu'elle est équivalente aux normes usuelles), il me semble qu'on va être "coquin" à la question 3) où il faudra utiliser le fait que la sphère unité pour cette norme est compacte (pour la topologie issue de la norme en question).alm a écrit:Je crois que l'énoncé fixe une norme dès le départ sur notée et que désormais c'est la topologie associée à cette norme qu'il considère.
Je suis tout a fait d'accord avec alm : (1) et (2) sont des définitions qui, justement, montrent qu'a priori (i.e. sans savoir que toutes les normes sont équivalentes sur un e.v. de dim. finie) la notion de "fermé" et de "borné" sont relative à une norme donnée : une partie fixée pourrait très bien être bornée (et/ou fermée) pour une certaine norme et non bornée (et/ou non fermée) pour une autre norme . C'est d'ailleurs fréquemment le cas en dimension infini où les normes ne sont pas toutes équivalentes.zygomatique a écrit:ok effectivement ... mais je ne comprends pas trop ...
soit n une norme de l'espace vectoriel V = R^n et E une partie de V
n'as-t-on pas les définitions :
(1) E est borné :: s'il existe M > 0 tel que pour tout x de E : n(x) < M alors E est borné
(2) E est fermé :: si pour toute suite (x_n) de E convergeant vers x (<=> n(x_n - x) --> 0)alors x appartient à E alors E est fermé
(3) E est compact : si E est fermé et borné alors E est compact
ou ces définitions ne conviennent-elles pas ? (de plus la dimension de V n'intervient même pas dans ces définitions)
merci par avance ....
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 25 invités
Tu pars déja ?
Identification
Pas encore inscrit ?
Ou identifiez-vous :