Exercice de topologie: connexité

[Albizzia]

Bonjour,

J'aurai besoin d'aide pour un exercice de topologie:

On a deux espaces métriques A et B, et on sait que A union B et A inter B sont des connexes. Il faut montrer que A et B sont nécessairement connexes.

J'ai pensé à une démonstration qui me semble trop simple pour être vraie:
(A inter B) inclus dans A inclus dans (A union B), et (A inter B) et (A union B) connexes, donc A connexe, et pareil avec B.

Est ce correct?

[ThSQ]

Pas d'hypothèses supplémentaires sur A et B ??????
Style A et B ouverts d'un même espace métrique ?

Ca me parait faux dans le cas général (A = Q, B = R \ Q)

[Albizzia]

Pas d'hypothèses supplémentaires sur A et B ??????
Style A et B ouverts d'un même espace métrique ?

Ca me parait faux dans le cas général (A = Q, B = R \ Q)

Si, on a bien A et B ouverts de X espace métrique. Désolée pour l'inexactitude de mon énoncé... Je viens de comprendre que ce que je disais est archifaux, en effet.

J'essaye d'écrire A et B sous la forme U union V, et de supposer que U inter V vide, avec U et V non vide, mais je n'arrive pas à trouver la contradiction qui me permettrait de conclure...

Si tu as une idée, ça me rendrait vraiment service!

[ThSQ]

J'm'disais bien !


Par l'absurde c'est toujours mieux : si A est réunion de deux ouverts : U et V.

Leurs traces sur sont deux ouverts donc l'un des deux est vide, par exemple

est un ouvert. Regarde donc ensuite et et conclus !


PS d'ailleurs l'hypothèse métrique me semble de trop. c'est vrai dans tout espace topo, m'semble

[Albizzia]

Je ne comprend pas très bien toute la démonstration. U est inclus dans W, donc on a U union W=W et U inter W=U. Mais comment peut-on conclure?

En fait, je ne vois pas très bien ce que représente U union W...

En tout cas, merci de m'aider!

[Maxmau]

Bj
Je cite ThSQ
"Regarde donc ensuite U union W et U inter W et conclus"
je pense qu'il a voulu écrire V union W et V inter W

[Albizzia]

OK, je pense avoir trouvé.

J'ai trouvé: V union W = A union B
V inter W = V inter U

Donc, si W inter V est vide, comme A union B est connexe, soit V est vide, soit W est vide.

Comme W= U union (B\A), si on suppose que A différent de B et B non vide, alors W ne peut pas être vide.
Donc, V est vide, et donc, A est connexe.

J'espère ne pas avoir dit de bétises.

Un grand merci à tous les deux de m'avoir aidé! :we:

[ThSQ]

Encore une typo :mur: . Le piège avec le Latex c'est qu'on passe plus de temps à regarder si ça fait joli plutôt que de vérifier si c'est correct :marteau:

[skilveg]

Bonjour,

J'ai pensé à une démonstration qui me semble trop simple pour être vraie:
(A inter B) inclus dans A inclus dans (A union B), et (A inter B) et (A union B) connexes, donc A connexe, et pareil avec B.

Est ce correct?

Effectivement, celle-là était trop simple pour être vrai: ce n'est pas parce que l'on est coincé entre deux connexes que l'on est connexe, par exemple .

[Albizzia]

Effectivement, celle-là était trop simple pour être vrai: ce n'est pas parce que l'on est coincé entre deux connexes que l'on est connexe, par exemple .

Et oui, je suis une optimiste dans l'âme... :marteau:

Merci pour l'exemple: un contre-exemple trivial est toujours bien plus utile qu'une démonstration compliquée! La prochaine fois, je m'en souviendrai!

[ThSQ]

Par contre un exo classique est :

si et que A est connexe alors B est connexe.

[Albizzia]

Par contre un exo classique est :

si et que A est connexe alors B est connexe.

Oui, voilà. J'avais justement fait une confusion avec celui là, que nous avions vu en cours. Si je me souviens bien pour le démontrer, il faut utiliser le fait qu'une fonction continue f: X -> {0,1} est constante dans une espace connexe...

[skilveg]

Par contre un exo classique est :

si et que A est connexe alors B est connexe.

D'ailleurs, on peut aussi chercher un contre-exemple à la réciproque... :lol4:

[ffpower]

A=Q,B=R...

[ThSQ]

Même chose avec connexe par arcs :look2: