Exercice topologie !

[Elvis]

Bonjour à tous,

Un exercice de topologie me cause problème. J'aurais besoin de vos lumières !

" Soit f : R -> R une application continue. On munit le graphe G(f) de f de la topologie induite de R^2. Montrer que G(f) est homéomorphe à R."

J'ai trouvé une application qui va de R dans G(f) et son inverse :

g : R -> G(f)
x -> (x,f(x))

Mon problème est que je n'arrive pas à prouver qu'elle est continue. Pour cela, il fait prouver que l'image réciproque de tout ouvert de G(f) est un ouvert de R, ou que l'image réciproque de tout voisinage de (x,f(x)) est un voisinage de x.
Or, si on considère un ouvert de G(f), il est alors de la forme
G(f) intersection O
avec O un ouvert de R^2 (puisque c'est la topologie induite).
Et ensuite, en calculant l'image réciproque de cet ouvert, je suis bloqué !
Merci d'avance.

[Elvis]

Un petit coup de main ??

[ThSQ]

Mon problème est que je n'arrive pas à prouver qu'elle est continue.

C'est la composée de fonction C° non ?

[legeniedesalpages]

ici les espaces sont métriques,

tu peux vérifier la continuité de ton application sûrement à l'aide de la définition de la continuité en termes de boules ouvertes et en utilisant la continuité de f.

[Elvis]

C'est quoi la fonction C° au juste ?

[legeniedesalpages]

f est C° équivaut à f est continue.


salut ThSQ.

[Elvis]

Ah oui, merci pour le rafraichissement ! Mais je vois pas comment décomposer g en fonctions de classe C° ...

[legeniedesalpages]

c'est quoi la topologie que tu t'es donné pour ?

[legeniedesalpages]

Par exemple si on choisit de mettre la topologie de usuelle ie muni de la métrique .

muni de la topologie induite n'est rien d'autre que l'espace métrique ,

où est la distance induite par sur .

Montrer la continuité de , revient à montrer que

pour tout , pour tout , il existe tel que

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avec .

[Elvis]

Il y a juste quelque chose que je ne comprends pas. J'ai juste appris à déterminer la topologie induite sur A (inclus dans X topologique) en disant qu'elle est définit par les sous-ensembles de la forme A intesection O avec O ouvert de X. Alors je n'arrive pas trop à faire le lien avec la déduction que la topologie induite est G(f) munit de d.

[Elvis]

c'est quoi la topologie que tu t'es donné pour ?

Pour ce qui est de la topologie sur R^2, elle n'est pas défnie.

[legeniedesalpages]

Si elle est définie tout comme celle de , elle est en fait sous-entendue.


Et si A est un sous-espace d'un espace métrique ,
ie A est une partie de E muni de la topologie induite par la topologie métrique de E,

alors l'espace métrique est le même espace topologique que A muni de la topo induite ( étant la restrition de la distance sur A).

[Elvis]

Merci beaucoup pour la réponse. C'est vrai que j'avais oublié que la topologie induite et la même que la métrique induite.
Merci et bonne soirée.