Exercice de topologie !

[barbu23]

Bonjour:
Pourriez vous m'aider à resoudre ce petit exercice...le voiçi :
==================
Soit muni de la norme sup
, .
A toute fonction : , on associe son graphe:
.
1) Supposons continue.
a) expliquer pourquoi est bornée.
b) montrer que est fermé dans .
c) montrer que est compact dans .
2) Supposons quelconque et compact dans .
On admet la propriété suivante:
: "Soit une suite dans un compact . Si admet un point d'accumulation unique dans , alors : ".
Soit une suite de points de telle que : .
a) Justifier le fait que la suite admet un point d'accumulation et montrer que : .
b) En utilisant , montrer que .
c) Conclure.
Merçi d'avance !!

[legeniedesalpages]

salut,

pour la a), il suffit de se rappeler que l'image par une application continue d'un compact est un compact.
Ensuite, les parties compactes dans sont les fermés bornés.

pour la b), je pense que tu peux essayer en montrant que toute suite de points de a sa limite dans (caractérisation séquentielle de l'adhérence).

pour la c), il te reste à montrer que est bornée, ie inclus dans une boule.

[barbu23]

"legeniedesalpages", j'ai un poblème de rédaction ... tu peux me corriger, voiçi comment je procède, il se peut que j'aie des erreurs graves dans la redaction :
Voiçi pour : 1-a ):
On a: est fermé ( intervalle fermé ) et borné ( par exemple )

est compact.
Comme est continue, alors: est compact.
Puisque les compacts de sont les fermés bornés de , alors est bornée.

[barbu23]

Pour 1_b) :
Nous allons considerer une suite et nous allons montrer que : .
Soit :
On a : avec : .


car est continue ( )
Et puisque : et et fermé alors : .
Par conséquent: .
D'où : est fermée !

[barbu23]

Pour 1-c) je ne suis pas sûr de bien répondre... voiçi comment je procède:
On pose : avec : .

est bornée et fermée sur , alors est compact sur

[barbu23]

Quelqu'un pourrait me corriger et me dire comment faire pour la suite des questions qui restent !!
Merçi d'avance !

[nuage]

Salut,

je n'aime pas du tout ta rédaction

Pour 1_b) :
Nous allons considerer une suite et nous allons montrer que : .

Que signifie ?
Au sens courant ceci n'existe, en général, pas.

Soit :
On a : avec : .


car est continue ( )
Et puisque : et et fermé alors : .
Par conséquent: .

En admettant que la suite (x_n) soit convergente je suis d'accord.



Une autre suggestion de démonstration :
Montrer que le complémentaire de est ouvert.
Qui pourrait commencer comme ça :
Soit .
Puis en disant qu'il y a une boule ouverte de centre A ne contenant aucun point de en se reportant à la définition de la continuité.
Ce n'est peut-être pas la meilleure méthode, mais c'est un exercice que je te conseille.

A+

un ajout pour la question 1.c.
Dans un fermé borné est compact.

[barbu23]

Help pls, il reste encore 3 questions à resoudre... pouvez vous m'indiquez la marche à suivre ... ! Merçi .. !
Merçi "nuage" pour ta reponse !!

[barbu23]

no help ! :doh:

[legeniedesalpages]

Salut pour la a) tu peux utiliser ce que tu as montré en 1-c) avec le théorème de Bolzano-Weierstrass, ensuite pour la deuxième partie de a) tu utilises la continuité de f.

[nuage]

Salut,
pour la question 2 :
La suite a, au moins, un point d'accumulation dans car cet ensemble est compact.
La suite possède un unique point d'accumulation, .
Les points d'accumulation de sont donc de la forme .
Comme ces points sont sur ils sont de la forme .
Reste à conclure...