Exercice Topologie

[nelloune]

Bonsoir ,
J'ai un exercice qui me pose problème surtout sur les questions 1 et 3.
Soit (E,||.||) un espace normé A E, A
1/ Démontrer que ( A bornée) ( bornée)
Ce que j'ai fais:
Par l'absurde: A non bornée c'est à dire c [ 0, inf[ , x A ||x||<=c
l x [0,inf[ , x1 A tel que ||x1||>c
k N , x2 K tel que ||x2||>k
= inf

2/ On considère la fonction f: E x E définie par:
\forall (u,v) \subset E x E , f(u,v)= ||u-v||
Démontrer que f est continue sur E x E
Voilà ce que j'ai fais :
Fixons >0 et u A. Fixons = / c
Si u A , ||f(u)-f(v)||<= c ||u-v||<= c * \epsilon /c
Lorsque c=0 , u1,v1 A ||f(u1)-f(v1)||<0 ||f(u1)-f(v1)||=0
u,v A, |||u||-||v|||<= ||u-v|| donc ||u-v|| fonction lipschitzienne continue

3/ dim(E)< inf et A est bornée. Démontrer qu'il existe (u0,v0) x tel que diam()=||u0-v0||
Je ne sais pas comment débuter avec cette question

[pascal16]

les quantificateurs sont mal passés en texte, on a du mal à lire.
1/ A est inclus dans Abarre.
sens 1 : Abarre borné implique A borné (ta démo semble être dans ce sens)
sens2 : il faut montré que A borné implique Abarre borné
soit un élément de Abarre.
-> soit il est dans A, et comme A borné, c'est fini
-> soit il est dans Abarre, il est limite d'une suite d’éléments de A.
soit espsilon=1, par la notion de limite, ça nous donne un donne un élément de Abarre qui est écarté au plus de 1 des bornes de A, donc borné, et comme c'est vrai pour tout élément de Abarre, c'est fini (on peut même être plus fin)

[pascal16]

pour la 2.
d'où sort c ???
si c dépend de u, tu ne peux faire varier u ensuite.
deux éléments distants l'un de l'autre de 0 qui ont des images distante de 0, c'est un peu léger

[aviateur]

Bonjour

1.
Définition 1.: un sous-ensemble F de est borné signifie qu'il existe , tel que pour tout x appartenant à F on a

Commençons par le plus facile: supposons borné. C'est bien connu que et donc si vérifie la définition 1, il en est de même pour A.

Réciproquement, supposons maintenant que A est borné et c>0 tel que ||x||<c pour tout x de A.
Soit un élément y qcq de . Par définition y est limite d'une suite d'éléments de A.
Pour tout n, on a d'après l'inégalité triangulaire.
Puis car

Maintenant ||y-x_n|| tend vers 0, donc en passant à la limite dans l'inégalité précédente on a
. Ce qui montre que est borné.

[aviateur]

Pour la 2. C'est pas très clair ta démo.

D'abord l'hypothèse dit que f est 1-lipschitzienne. Or c'est bien connu qu'une fonction k-lipschitzienne (k>0) sur E est continue sur E (même mieux que ça elle est uniformément continue).
Je suppose que celui qui pose ça fait abstraction de cette connaissance et qu'il faut revenir à la continuité.
Donc soit fixé. Soit une suite quelconque de E qui converge vers u
(ce qui signifie que ||u-u_n|| tend vers 0).
On a donc qui tend vers 0. Donc tend vers f(u).
C'est à dire que f est continue en u. Le raisonnement étant fait pour u quelconque dans E, on a donc montré que f est continue sur E.

[aviateur]

pour le 3 .
def

3 . Comme A est borné il en est de même de et soit c>0 une constante (comme dans la déf de la question 1).

On a pour tout ||u-v||\leq||u||+||v||\leq 2c.
Ce qui montre que
Désignons d la valeur de diam(\bar{A}). Vos tu comment finir? Il faut utiliser la définition du diamètre (donc du sup et aussi utiliser que est fermé...

[nelloune]

Merci pour vos réponses c'est beaucoup plus clair maintenant.