Exercice sur les anneaux des entiers de Gauss

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Julien9
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Exercice sur les anneaux des entiers de Gauss

par Julien9 » 02 Nov 2011, 20:58

Bonjour à tous, voici un exercice que j'aimerais faire et qui est assez compliqué. Pourriez vous m'aider?

Image

La question a est assez simple (propriétés des anneaux à démontrer), mais le reste j'ai plus de difficultés.
Merci à tous ceux qui ont lu, et à tous ceux qui répondent.



Le_chat
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par Le_chat » 02 Nov 2011, 21:08

Pour la b), si tu écris z=x+iy, que devient l'inégalité?

Julien9
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par Julien9 » 02 Nov 2011, 21:21

Ah oui ^^"

z=x+iy
q=a+ib

|z-q| <=> |i(x-a)+(y-b)|=V((x-a)²+(y-b)²)
donc il faut que (x-a)²+(y-b)²<1

Le_chat
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par Le_chat » 02 Nov 2011, 21:22

Oui c'est ça. Tu vois comment conclure? Souviens toi que x, y sont des reels, et que tu veux trouver deux entiers tels que (x-a)^2 et (y-b)^2 sont les plus petits possibles.

Julien9
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par Julien9 » 06 Nov 2011, 19:43

Alors j'ai essayé de continuer, j'ai fait le (a), le (b), (c) partie i
Mais je suis bloqué pour le (c) partie ii et le (d) et (e)
Pourriez vous m'aider?

Julien9
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par Julien9 » 06 Nov 2011, 21:12

Dans la question c ii j'ai fait ça:

en posant x=x1+ix2
et y=y1+iy2

j'obtient après transformation:

x/y=(x1y1+y2x2)/(y1²+y2²) + i*(x2y1-x1y2)/(y1²+y2²)

Je sais pas trop comment continuer

Julien9
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par Julien9 » 06 Nov 2011, 22:27

J'ai avancé, mais je suis bloqué a la dernière question!

Pouvez vous m'aider?

Le_chat
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par Le_chat » 06 Nov 2011, 23:20

Pour la dernière question, à chaque fois tu écris:
le nombre recherché=(a+ib)(a'+ib') et tu regardes ce que ça donne sur ab, a' et b'.

 

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