Exercice sur l'inverse des carrés des nombres entiers.

[alexloic]

Bonjour,

J'ai besoin de votre aide pour un exercice tout bête. J'ai déjà réussi à le faire mais impossible aujourd'hui de retrouver comment j'ai fait.
Le voici :

On pose Sn la somme de 1 / 2^k de 1 à n. Il faut montrer que la suite est convergente (ça c'est fait ==> somme des termes d'une suite géo).

Puis on pose Tn la somme de l'inverse des carrés de 1 à n. Il faut juste montrer que cette somme est majorée.
Je me rappelle qu'il fallait comparer k à l'aide d'inéquations et que a la fin on avait Tn < Sn +1 (enfin je crois) et donc que la somme est majorée.

Mais impossible de le refaire.
Merci d'avance de votre aide.

[yos]

Tu peux montrer par récurrence que .

[alexloic]

Merci pour cette technique !!

Sinon (pour trouver une autre façon), ne serait-il pas possible de le faire avec des inéquations ? Parce-que l'exercice oblige de réutiliser Sn (excuser moi je ne l'ai pas marqué plus haut :wrong: ).

Merci tout de même !

[yos]

Je connais d'autres méthodes, mais celle dont tu parles ne me dit rien.
- On peut montrer que est un couple de suites adjacentes.
- On peut encore arriver au résultat que j'indiquais précédemment sans récurrence mais en écrivant 1/k² < 1/k-1/(k-1) et en sommant de 2 à n.

[alexloic]

Je ferais avec.

Merci beaucoup
juste une dernière question c'est bien 1/k-1/(k-1) ? Il n'y a pas d'erreur de signe (c'est bien une division ?)

[yos]

Si erreur de signe!
, et quand on somme, la série de droite est télescopique.