Entiers de Gauss

[mathematixe]

Bonjour a tous il me reste quelques questions sur mon DM pour la rentrée que je n'arrive pas à faire...
1) Montrer le théorème de Bezout sur les entiers de Gauss:
Soient a,b \in Z[i] et d un pgcd de a et b alors il existe u,v \in Z[i] tels que au+bv=d

2) On dit que p dans Z[i] est irréductible si ses seuls diviseurs sont 1 et lui même (à une unité près). On dit que p est premier si pour tout a,b dans Z[i], q|ab=>q|a ou q|b
Montrer que dans Z[i] p premier ssi p irréductible

3)montrer que tout entier de Gauss non nul peut s'écrire comme produits d'entiers de Gauss premiers et d'une unité u

[aviateur]

Peux tu préciser ce que c'est Z[i] ???

[mathematixe]

Z[i] sont les entiers de Gauss C'est à dire les nombres de la forme a=x_a+iy_a , (x_a,y_a) dans Z^2

[LB2]

Bonjour Mathematixe,

quelle est la définition d'un pgcd dans Z[i] ?

Essaie de reprendre la preuve de Bézout dans l'anneau Z et de regarder ce qui fait fonctionner la preuve. Peut-on l'adapter à Z[i] ?

Indice : division euclidienne

[LB2]

Et commencer par le cas où a et b sont premiers entre eux

[mathematixe]

Ça y'est j'ai réussi pour Bezout en m'aidant de l'algorithme d'Euclide. Je suis alors a la prochaine question j'ai prouvé que si p irréductible alors p premier mais je n'arrive pas à prouver que si p premier alors p irréductible..