Exercice de probabilité

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Bonjour tout le monde, j'ai un DM à rendre et je suis embêtée avec cet exercice depuis 1 semaine. Il y a deux partie à l'exercice, je poste déjà la première partie avec l'espoir de réussir la partie 2 seule après avoir été aidée pour la partie 1. Voici l'énoncé :

Le casino a fait l'acquisition de deux nouvelles machines à sous. Les deux machines dépendent d'un paramètre p , que l'on peut régler. C'est vous qui êtes chargés de faire ces réglages. On note aussi .

Partie A :
On joue avec cette première machine en introduisant une pièce de deux euros. La machine choisit alors au hasard un nombre X dans N, puis effectue une série de X tirages. A chaque tirage, le joueur reçoit un euro avec une probabilité p, et ne reçoit rien sinon. On appelle Y la variable aléatoire correspondant au nombre de tirages gagnants.
Pour la première machine, X suit une loi de Poisson de paramètre 4p.

1./ Déterminer, pour tout , la probabilité conditionnelle .
J'ai trouvé quelque chose du genre : = , mais en réalité on m'a un peu donné cette réponse et j'avoue ne pas avoir vraiment compris, alors si vous pouviez me l'expliquer ...

2./ En déduire, pour tout , la probabilité de l'évènement (Y=k).
3./ En déduire sans calcul l'espérance et la variance de Y.
4./ Comment régler le paramètre p pour que :
- Le budget du casino soit équilibré (le joueur gagne en moyenne autant qu'il dépense);
- Le bénéfice du casino soit égal en moyenne à la moitié de la somme dépensée par le joueur ?

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slt,

1)
pour X=n, tu fais n tirages
pour Y=k, tu as u k tirages gagnant parmi ces n tirages
supposes tu fais trois tirages, et k=2, les possibilités sont
p,p,q
q,p,p
p,q,p
avec q = 1-p
et chaque possibilité a pour proba p^2*q
au final... le nombre de possibilités c'est 2 parmi 3 (les facons que tu peux poser tes p) et la probabilité d'une main c'est p^2q

ben pareil pour n et k,
tu as k parmi n possibilités de main gagnante, et chaque main a pour proba p^kq^(n-k) (je pense que tu as une coquille avec (1-p)^k... il s'agit de (1-p)^{n-k})

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Ah oui d'accord je vois mieux. En revanche je ne vois pas comment en déduire la probabilité de l'évènement (Y=k), est ce que c'est la même que la probabilité conditionnelle de la question 1 ?

Ensuite, pour la 3, est que je dois juste donner l'expression ? Ou bien l'espérance et la variance se déduisent directement ? Je ne vois pas trop comment ...

Enfin, pour la 4, ça me semble très abstrait ... je n'ai aucune idée de ce qu'il faut chercher ...

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P(Y=k) c'est
tirer X==k et gagner k fois
ou tirer X==k+1 et gagner k fois
ou tirer X==k+2 et gagner k fois
la proba de tirer X==n (donc pour n allant de k à l'infini) c'est donné par ta loi de poisson
et gagner k fois sachant que t'as tiré n fois, tu l'as calculé avant

[evazion]

Euh oui d'accord, du coup,
P(Y=k) = ?

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je trouve après calcul que
avec

[evazion]

Mais je ne comprends pas pourquoi vous faites ce calcul ?

[evazion]

Si c'est bon, j'ai compris, on utilise la formule des probes totales. Mais d'où sort ce , ce n'est pas 4 normalement ?

Du coup, avec le résultat de , je trouve la loi de Y qui suit aussi une loi de Poisson de paramètre ou ?
Donc E(Y) = ou et V(Y) = ou ?