Evn

[kazeriahm]

salut

j'ai un exo qui me bloque :

sur un C-ev E de dimension finie, on considère un endomorphisme u tel que pour tout x de E, la suite (u^n(x)) est bornée.

1)Montrer que la suite |||u^n||| est bornée

2)Montrer que converge et donner sa limite

bon pour la 1) je crois que je vois globalement comment faire, en utilisant le fait que la sphère unité est compacte, mais je m'embrouille un peu

la 2) je conjecture que la limite est u(x) mais je ne vois pas comment le prouver

Merci de m'aider

[Daniel-Jackson]

salut

j'ai un exo qui me bloque :

sur un C-ev E de dimension finie, on considère un endomorphisme u tel que pour tout x de E, la suite (u^n(x)) est bornée.

1)Montrer que la suite |||u^n||| est bornée

Question un peu bête car ça serait trop facile mais je la pose quand même .

Est ce que c'est la même borne pour tous les x . Si c'est le cas , ce qui m'étonnerait , ça serait trop facile .

Sinon puisqu'on est dans sur un espace complxe de dimension finie , on ne pourrait pas trigonaliser et majorer les valeurs propres . Et aisin controler la norme ..........quoi que y'a des termes dans le triangle supérieur qui genent un peu .

[fahr451]

(ei ) i = 1 ,...,p une base de E ll ll la norme sup (elles sont toutes équivalentes de toute façon)

pour x dans E
x = sigma xi ei ll u^(n) (x) ll =< [max llu^(n)(ei)ll] ll xll


ce qui prouve que lll u^nll =< max ll u^n(ei)ll est bornée comme max de p suites qui le sont

[Daniel-Jackson]

Ah bien joué ! :++:

[kazeriahm]

c'est vrai que c'est très bete... :mur: merci

la 2 vous avez une idée ?

apparament c'est un sujet d'oral de l'ens, je crois que j'ai tendance à me laisser impressioner...

[fahr451]

j'ai la solution du 2 mais j'ai peur d'être encore très bête

[fahr451]

la suite converge vers p(x)

où p est la projection sur ker(u-id) de direction Im(u-id)

[kazeriahm]

bon je fais remonter un peu tard, merci fahr c'est bon