Formes linéaires non continues sur un evn

[legeniedesalpages]

Bonjour, je bloque sur cet exo:

Soit une base algébrique d'un espace vectoriel sur ,
et soit une application quelconque de dans .

a) Montrer qu'il existe une forme linéaire unique sur telle que pour tout .

b) On suppose maintenant que est un espace de dimension infinie;
soit alors une suite infinie de points distincts de .
On désigne par la fonction sur ainsi définie:

[center] pour tout ; si n'est pas un .[/center]

Montrer que la forme linéaire associée à n'est pas continue.

c) En utilisant la même idée, montrer que l'ensemble des formes linéaires discontinues sur un espace normé de dimension infinie
a une puissance au moins égale à l'ensemble des formes linéaires continues.


Pour la a. et la b. c'est ok, mais pour la c. par contre je n'ai pas d'idée.

Merci

[ThSQ]

Intéressant, une proposition :

une base de E (l'A.C. nous assure de son existence)

Soit f une forme continue.

- si f est nulle sauf pour un nombre fini d'indice i on peut en s'inspirant de b) construire une forme non continue en utilisant une partie dénombrable quelconque parmi les indices restant (toujours possible moyennant un coup d'AC dénombrable)

- sinon
On sort une partie dénombrable des tels que .

et on définit g par :
si est non nul et 0 sinon et sinon. g n'est pas continue.

Conclusion : à partir d'une forme continue on peut former une forme non continue donc il y a au moins autant de formes non continues que de formes continues.

Bon j'ai utilisé des résultats un peu bazooka (existence d'une base ...), peut-on faire sans ? surement :marteau:


Edit : à la réflexion il faut mpdifier un peu pour que ça marche, on n'a pas prouvé que les g construites dans le 2ème cas étaient différentes. Modifs en conséquence

[nuage]

Salut,
il me semble que l'on peut utiliser le résultat suivant : la somme d'une fonction continue et d'une fonction discontinue est discontinue. (à démontrer)

On a une forme discontinue :
L'application de l'ensemble des formes continues dans celui des formes discontinues est injective. (à démontrer)

Il ne reste plus qu'a conclure

Sauf erreur de ma part.

A+

[oscar]

Bonsoir

Formes lineaires non continues sur e v n
Voir Google : fin de la 1ère page

[legeniedesalpages]

merci pour vos réponses, je vais étudier ce que vous me proposez,

oscar>> c'est de ce document que tu parles: http://www.phys.univ-tours.fr/~gallardo/EspHilbert4.pdf ? :hein: