Endomorphismes et continuité dans un EVN

par **LLG** » 02 Nov 2006, 15:22

Bonjour,

Comment montrer qu'un endomorphisme de (E,N) est continu si etseulement si il est borné sur la boule unité fermée de centre 0 et de rayon 1...?

Encore MERCI pour votre aide.

par **abcd22** » 02 Nov 2006, 15:38

Bonjour,
Pour le sens direct, en écrivant la définition de la continuité en 0 on trouve que l'endomorphisme est borné sur une boule centrée en 0 de rayon r, on en déduit qu'il est borné sur la boule centrée en 0 de rayon 1 en utilisant f(x) = f(rx)/r.
Pour la réciproque, si

pour

, on en déduit que pour tout x,

. Donc pour tous

(et on peut remarquer qu' un endomorphisme continu est lipschitzien donc uniformément continu).

par **LLG** » 02 Nov 2006, 15:44

Merci beaucoup, mais pourriez vous m'expliquer pourquoi au depart vous prenez le cas particulier de la continuité en 0...??

Je ne comprend pas non plus pourquoi de:

et

vous en deduisez:

...
Car en fait on a

et

.

On peut donc aussi bien avoir

... que

...

Qu'en pensez vous ? Encore Merci de votre aide.

par **abcd22** » 02 Nov 2006, 16:05

C'est pour avoir une borne au voisinage de 0, puisqu'on cherche à prouver que la fonction est bornée sur une boule centrée en 0.

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