Bodyboard.Pro-Rider>Vert a écrit:la distance entre le fermé F et le compact f^{-1}(y) est >0. Ca c'est pas possible.
Et pourquoi n'est ce pas possible?
Aucune idée. J'ai écrit ça avant d'aller bosser. Je revendique le droit de dire n'importe quoi de temps en temps.
Plus sérieusement.
On peut prouver que f a pour limite 
en 
: on peut trouver une suite
)
telle que
\to +\infty)
(surjectivité de f). Cette suite ne peut pas être bornée. Quitte à extraire, on peut supposer qu'elle tend vers l'infini. Disons
par exemple. Si on suppose que f ne tend pas vers
en
, alors il existe un réel A et une suite
)
de limite
telle que
<A)
. Par le TVI, f prendra une infinité de fois la valeur A et ceci pour des valeurs aussi grande qu'on veut de la variable (impossible car f
)
est compact). D'où le résultat. De même on aura f qui tend vers
en
Je reprends le raisonnement de Kazeriahm : si la suite
)
est bornée c'est bon en extrayant une sous-suite convergente. Si la suite est non bornée, quitte à extraire, on peut supposer qu'elle tend vers l'infini. Alors
)
tend vers
et ça c'est impossible.
