Evn exercice difficile

[Bodyboard.Pro-Rider>Vert]

Bonsoir,voila je suis tombé sur un exercice qui ne se laisse pas faire et qui me semble bien difficile:
Soit: f :R-R continue ,surjective,telle que pour tout y appartenant a R f^(-1)[/y/] soit un compact de R.Montrer que f est fermée,cad que l'image par f de tout fermé de R est un fermé de R.

Merci.....

[fahr451]

Alors, je pense que l'idée est la suivante : prenons un fermé de R noté F. On prend une suite xn convergente dans R à valeurs dans F, alors comme F est fermé, xn converge dans F vers un certain x. On pose yn = f(xn). Comme f est surjective, pour tout yn, il existe au moins un xn vérifiant yn = f(xn) (définition d'une fonction sujective). Comme f est continue, lim xn = x => lim f(xn) = f(x) = y. yn converge aussi dans R et finalement, si xn tend vers x dans F, f(xn) tend vers f(x) dans f(F) et f(F) est un fermé par définition.

Sinon, il y a quelque chose que je n'ai pas compris dans l'énoncé, l'image réciproque de /y/ par f est un compact ? je ne sais pas trop ce que signifie /y/ mais dès qu'une fonction est continue, l'image réciproque d'un compact (resp.fermé, ouvert) est compact (resp.fermé, ouvert).

cela ne va pas

1)il faut montrer que f(F) est fermé et donc partir d'une suite yn de f(F) qui converge vers y et montrer que y est dans f(F)

2) l'image continue DIRECTE d'un compact est compact pas l'image réciproque a priori

ex cos R->R et B = {1}
cos^(-1) ({1}) = 2pi Z non compact

[yos]

dès qu'une fonction est continue, l'image réciproque d'un compact.

A 3h du mat' peut-être bien.

[kazeriahm]

tu peux utiliser le fait que si u_n est une suite convergente vers l, alords {u_n,n € N} U {l} est compact

[fahr451]

ok alors on va reprendre :

on prend une suite xn de F convergente, avec F fermé. xn converge donc vers x dans F.
On prend yn une suite de f(F) telle que yn = f(xn). yn est bien définie par la surjectivité de f.
.

NON

IL faut partir de y n convergente et non de xn convergente

[kazeriahm]

ca ne peut pas marcher, tu n'utilises nulle part les hypotheses, c'est un premier point

deuxiemement si y_n est une suite convergeant vers y, comment prouves tu que x_n converge ?

[fahr451]

ok, bah on inverse les deux premières phrases.

comment ça ?

on inverse l'ordre logique ...

et cela devient dénué de sens

[fahr451]

On pose la suite yn=f(xn) avec (xn) une suite convergente de F (la suite yn est bien définie par la sujectivité de f). .

NON et toujours NON

la suite xn ne doit pas être supposée convergente( c'est l'objectif en fait de le montrer ou en tout cas pour une sous suite)

d'autre part le fait que yn = f(xn) existe n 'a rien à voir avec la surjectivité

un élément xn a une image par f point final

tu fais tout à l'envers...

[kazeriahm]

il faut commencer ainsi :

F est un fermé de R.

Soit (yn) une suite de f(F) convergeant vers y.

Le but de la demonstration est de montrer que y est dans f(F).

Alors ensuite, pour tout n, il existe x_n dans F tel que y_n=f(x_n), ceci par definition de f(F). Cependant le fait que yn converge ne garantit en rien le fait que x_n converge

et je repete il faut utiliser le fait que si K est compact alors f-1(K) est compact (c''est l'hypothese) et le fait que {y_n, n dans N} U {y} est compact (ca c'est une propriété qui est toujours vraie)

[Bodyboard.Pro-Rider>Vert]

Merci .....

[fahr451]

c'est un peu tôt body

la preuve n'a pas été donnée je cherche encore ça m'énerve car ça doit être simple

[kazeriahm]

K={y_n, n dans N} U {y} est compact

f-1(K) est compact par hypothese, f-1({y_n, n € N}) inter F C f-1(K) inter F, ce dernier ensemble est compact (car fermé contenu dans f-1(K) compact).

il existe x_n dans f-1({y_n, n € N}) inter F tel que y_n = f(x_n). La suite (x_n) est à valeurs dans un compact donc admet une valeur d'adhérence dans f-1(K) inter F, ce qui garantit la convergence de y_n dans f(F) (ou le fait que y est dans f(F)). Non ?

[fahr451]

K={y_n, n dans N} U {y} est compact

f-1(K) est compact par hypothese,?

l hypothèse est l image réciproque d'un singleton est compact

donc d'une partie finie ce que n 'est pas K

[yos]

Il faut montrer que est non vide et c'est gagné.
Si c'est vide, la distance entre le fermé F et le compact est >0. Ca c'est pas possible.

[Bodyboard.Pro-Rider>Vert]

J'ai peut etre une idée....
a distance entre le fermé F et le compact f^{-1}(y) est >0. Ca c'est pas possible.

Et pourquoi n'est ce pas possible?

[Bodyboard.Pro-Rider>Vert]

Trop difficile cet exercice!!!

[Lierre Aeripz]

La méthode de kazeriahm me semble très bonne...

[Yipee]

et je repete il faut utiliser le fait que si K est compact alors f-1(K) est compact (c''est l'hypothese)

Je suis d'accord avec ta preuve sauf le passage qui stipule que l'image reciproque d'un compact est compact. Comment tu le prouves ?

[Lierre Aeripz]

C'est vrai... J'avais mal lu l'énoncé ! (Ah... si tout le monde pouvait faire un effort et utiliser Latex...)
Il y a effectivement un petit point à règler.

[Yipee]

Je pense que l'on peut modifier l'argument pour le faire fonctionner. Soit une suite convergente de f(F) et sa limite. On pose pour tout n, et . Les sont donc une suite croissante de compacts. On pose aussi et la distance entre les deux compacts. C'est donc une suite décroissante et positive. Elle convergence vers b.

Si b=0, alors on peut construire une suite de F qui converge vers un élément de L. On en déduit que F et L ne sont pas disjoint et donc que y est f(F).

Si b n'est pas nul, je pense que l'on doit pouvoir conclure en utilisant des ouverts disjoints contenant l'union des et L. Mais je dois partir...