Est tu un géomètre insomniaque ?

[Ben314]

Bonsoir tout le monde,
Au cas ou il y ait des insomniaques férus de géométrie, il me semble me rapeller qu'il y a une démonstration trés courte pour trouver le lien qu'il y a dans un triangle non dégénéré entre
1) Le rayon r du cercle inscrit.
2) Le rayon R du cercle circonscrit.
3) La distance d entre les centres de ces deux cercles.

Bien évidement, je considère qu'il est inutile que je rapelle la formule magique reliant ces trois quantitées... :zen:

[mathelot]

bonjour,

j'ai supposé que O, le centre du cercle circonscrit était intérieur au triangle

on note les mesures de longueurs des trois côtés.
rayon du cercle circonscrit
rayon du cercle inscrit

un calcul d'aire avec les triangles AIB,BIC,CIA
et les triangles AOB,BOC,COA donne

[Ben314]

Allez HOP, je remonte mon propre post....
S'il y a des amateurs, la "formule magique" est d²=R²-2rR

Si on prend pour r le rayon d'un des cercles exinscrit et pour d la distance du centre de ce cercle au centre du cercle circonscrit, la "formule magique" devient d²=R²+2rR...

(mais je ne retrouve pas la preuve esthétique...)

[mathelot]

je chercherai du côté de la puissance de I par rapport au cercle
circonscrit

[abcd22]

Bonsoir,
Il y a la démonstration à la page 106 de _La géométrie du triangle_ d'Yvonne et René Sortais, et effectivement ils calculent la puissance de points par rapport au cercle circonscrit, mais sans parler explicitement de puissance (ils passent par des produits scalaires), donc peut-être que leur méthode n'est pas la plus rapide, je n'ai pas regardé les détails.

[Ben314]

Salut et merci...
De mémoire, la "preuve trés rapide" utilise des inversions, c'est à dire effectivement des puissance de points par rapport à des cercles.
Je vais rechercher plus sérieusement...

[yos]

Alternative à la méthode "puissance par rapport à un cercle" :

Puisque Le centre du cercle inscrit I est barycentre de (A,a), (B,b), (C,c), on a pour M quelconque, et en posant f(M)=aMA²+bMB²+cMC² (fct num. de Leibniz) : f(M)=2pMI²+f(I).
On l'applique avec M=O.
f(I) se calcule bien en fonction de a,b,c,p,r.

[mathelot]

bonjour,

j'ai mis du temps à les retrouver... :hum:
r=rayon du cercle inscrit
R=rayon du cercle circonscrit
a=BC,b=AC,c=AB
p demi-périmètre
S aire



avec l'aire des triangles ABI,ACI,BCI


avec






à propos:

i )je trouve que H est barycentre de A,B,C affectés des poids
cotan(A),cotan(B),cotan(C)

peut-on trouver mieux comme poids ?

ii) Si est le pied de bissectrice de l'angle
la droite recoupe le cercle inscrit en

est-ce que le nouveau triangle
porte un nom ?

iii) si on prend U point quelconque de [BC]
et que l'on souhaite exprimer x=BU et y=CU avec x+y=a
quelle est le paramètrage le plus naturel
quand U est "mobile" ?
l'angle , sa tangente, , autre chose ?

cordialement,