Darboux, qu'est ce qui est intégrable?

[DevilSpike]

je voulais poser une question sur la somme de Darboux
on dit que f est intégrable si et seulement si:

"sup(delta)de la petite somme de Darboux " = "inf (delta)de la grande somme de Darboux "
(avec delta la subdivision [a,b])

je ne comprends pas trop la condition
Est ce que ça veut dire que pour chaque subdivision de delta, à chaque point x, il faut que l'inf de la grande somme soit égale au sup de la petite somme

dans ce cas là:
f(x)=2x avec delta={0, 1/4 ,1/2 , 3/4 , 1}
c'est intégrable?

qqn aurait un exemple simple de qqch qui n'est pas intégrable ?

ex de grande somme


ex de petite somme


merci d'avance

[alavacommejetepousse]

bonsoir

le sup et l inf sont pris sur toutes les subdivisions possibles donc la subdivision n'est pas fixée!

[DevilSpike]

bonsoir

le sup et l inf sont pris sur toutes les subdivisions possibles donc la subdivision n'est pas fixée!

je ne comprends pas trop ce que tu veux dire

est ce que la la régle que j'ai énoncé veut dire que sup de petite somme de Darboux, doit être égale à inf , tjrs pour chaque point x, de la grande somme de Darboux ?

tu vois ce que je veux dire?

[nonam]

est ce que la la régle que j'ai énoncé veut dire que sup de petite somme de Darboux, doit être égale à inf , tjrs pour chaque point x, de la grande somme de Darboux ?

Le "tjrs pour chaque point x" n'a pas de sens.
La valeur d'une somme de darboux dépend de la subdivision delta, et non de x !
Si tu notes p( ) la valeur prise par la petite somme avec la subdivision , et g( ) celle prise par la grande. Il faut que le sup de p soit égal au inf de g, sur l'ensemble des subdivisions possibles du segment.

[DevilSpike]

Si on prend l'exemple
f(x)=2x
delta={0,1/4,1/2,3/4,1}

petite somme de Darboux= 0x1/4 + 0.5x1/4 + 1x1/4 + 1.5x1/4 = 0.75
grande somme de Darboux= 0.5x1/4 + 1x1/4 + 1.5x1/4 + 2x1/4 = 1.25

à quoi correspond:
sup(petite somme de Darboux)
inf(grande somme de Darboux)

est ce qu'elle est intégrable?


Si je suis "mon instinct", je dirais que:
sup(petite somme de Darboux)=1.5x1/4
inf(grande somme de Darboux)=0.5x1/4
mais je pense que je me trompe !!

[nonam]

Tu n'as pas compris.
Là tu as calculé p( ) et g() pour UNE valeur de delta. Si delta est fixé, il n'y a pas de sens à chercher le sup de p(). Le sup d'une valeur, c'est cette valeur et rien d'autre. Le sup est définit sur un ensemble, en l'occurrence on cherche le sup de l'ensemble des valeurs prises par p, pour variant dans l'ensemble des subdivisions de [0,1].

[Maxmau]

Tu poses la question
qqn aurait un exemple simple de qqch qui n'est pas intégrable ?

Prends la fonction f définie sur l'intervalle (0,1) de la maière suivante:

f(x) = 0 si x rationnel
f(x) = 1 sinon

[DevilSpike]

Tu poses la question
qqn aurait un exemple simple de qqch qui n'est pas intégrable ?

Prends la fonction f définie sur l'intervalle (0,1) de la maière suivante:

f(x) = 0 si x rationnel
f(x) = 1 sinon

ok ! je comprends !
thx