Espace vectoriel, sous ev dans Rn[x]

[ThekamikazeFou]

bonjour, j'ai un exercice à faire et je suis un peux bloqué..
dans R3[x], soit D={Pappartenant à E, D(1)=D'(1)=0}

Montrer que D est un sev de E, donner une base de D, on pose D' le polynôme de E tel que P(x)=(x-1)²(ax+b)
montrer que D=D'

je ne vois meme pas comment démarrer...

la dimension de D est 4 car nous somme dans R3[X].
la base est donc Bc(X^0+X^1+X^2+X^3)

en intégrant P(X) je vais trouver le polynome D non? et après je compare, mais je ne suis vraiment pas sur.

[Doraki]

Tu es sûr que ton exercice demande de montrer qu'un polynôme est un espace vectoriel ?

T'as la dimension de E et une base de E ?
Tu as montré que D est un sev de E ?

[ThekamikazeFou]

Tu es sûr que ton exercice demande de montrer qu'un polynôme est un espace vectoriel ?

T'as la dimension de E et une base de E ?
Tu as montré que D est un sev de E ?

faute de frape pardon !
voici la corrigé :
bonjour, j'ai un exercice à faire et je suis un peux bloqué..
dansE= R3[x], soit D={Pappartenant à E, P(1)=P'(1)=0}

Montrer que D est un sev de E, donner une base de D, on pose D' le polynôme de E tel que P(x)=(x-1)²(ax+b)
montrer que D=D'

je ne vois meme pas comment démarrer...
comment démontrer que D est un sev de E sachant qu'on ne sait pas grande chose de D ?
la dimension de D est 4 car nous somme dans R3[X].
la base est donc Bc(X^0+X^1+X^2+X^3)

en intégrant P(X) je vais trouver le polynome D non? et après je compare, mais je ne suis vraiment pas sur.

[Nightmare]

L'énoncé n'a toujours aucun sens.

Montrer que D est un sev de E, donner une base de D, on pose D' le polynôme de E tel que P(x)=(x-1)²(ax+b)
montrer que D=D'

D est un sev, D' un polynôme, comment pourraient-ils être égaux?

[ThekamikazeFou]

L'énoncé n'a toujours aucun sens.



D est un sev, D' un polynôme, comment pourraient-ils être égaux?

je ne sais pas, voici l'énoncé mot pour mot :
dans E=R3[X] on considère les sous ensembles suivant :
... , D={P appartenant E, P(1)=P'(1)=0 }

question : Montrer que D est un sev de E, Donner une base de D. On pose D' l'ensemble des polynomes de E de la forme : P(X) = (X-1)²(aX=b). Montrer que D=D'

[Nightmare]

Et tu ne vois pas de différence entre ce dernier énoncé, qui est correct, et les premiers que tu as posté?

C'est l'une des première chose à faire pour réussir un exercice : comprendre son énoncé.

[ThekamikazeFou]

oui D' est l'ensemble des polynomes et non le polynome de E lui même, je n'avais pas fais attention.

bref pouvez me dire comment démarrer? que dois je démontrer? ce qui me gène c'est qu'on ne sait pas grand chose sur P()

[Doraki]

Je comprends pas comment tu peux prétendre que D est de dimension 4 juste après avoir dit que tu ne sais pas comment montrer que D est un sev de E.

Pour montrer que D est un sev de E il suffit de vérifier la définition de "être un sev de E". Donc rappelle-nous la définition de sev et dis-nous là où t'as un problème.

[Nightmare]

P ne désigne pas un polynôme en particulier.

D est l'ensemble des polynômes dont l'image en 1, ainsi que l'image de leur dérivée en 1, valent toutes deux 0.

Pour montrer que c'est un sev de R3[X], on revient à la définition d'un sev. Qu'elle est-elle? Donc que faut-il montrer?

[ThekamikazeFou]

P ne désigne pas un polynôme en particulier.

D est l'ensemble des polynômes dont l'image en 1, ainsi que l'image de leur dérivée en 1, valent toutes deux 0.

Pour montrer que c'est un sev de R3[X], on revient à la définition d'un sev. Qu'elle est-elle? Donc que faut-il montrer?

on dit que F est un sev de E si :
si le vecteur null est dans F, si la loi + et . (point) est stable.

sauf que je ne vois pas comment le démontrer ici sachant qu'on a très peut d'informations sur D...

[Kikoo <3 Bieber]

On dira plutôt que E est stable par + et . non ? ^^

[Doraki]

Ben la définition de D te dit exactement qui est D. D = {polynômes P de E / P(1) = P'(1) = 0}. Je vois pas où il pourrait manquer une information sur D.
C'est quoi le vecteur nul de E ? (c'est quel polynôme ?)
Est-ce qu'il est dans D ? (Est-ce que sa valeur en 0 la valeur de sa dérivée en 0 sont nulles ?)

[ThekamikazeFou]

le polynome nul de E est 0[X],
après je ne vois pas trop quoi faire, comment justifier,
0(X)*P (X] = 0 ?

puis soit un polynome P1(X) on a :
P1(X) + P(X) = P2(X) donc la loi + est stable

et k*P(x) = P2(X) donc la loi . est stable?

[Doraki]

le polynome nul de E est 0[X],
après je ne vois pas trop quoi faire, comment justifier,
0(X)*P (X] = 0 ?

Comment diable de "vérifier que le polynôme 0(X) est dans D" en es-tu arrivé à "0(X)*P(X) = 0 ?"

[ThekamikazeFou]

je ne sais pas, j'ai du mal à comprendre tout ce mélange d'ensemble..
0(X) appartient a D si les coefficients de l'ensemble sont nul.
par exemple si P= ax² + bx + c
0(X) appartient à D si le polynome P a pour coefficient a=b=c=0 non?

[Doraki]

Un ensemble ça n'a pas des coefficients ça a des éléments (en l'occurence les éléments de D sont des polynômes)
Les gens qui ont des coefficients ce sont les polynômes.

On ne t'a pas donné l'ensemble D comme une liste de ses éléments du genre D = {x²+2x+3 ; 5x^3-x+4 ; ....}. Tu n'as pas à aller regarder dans la définition de D si il y a des coefficients qui valent 0.

On t'a donné D comme : l'ensemble des polynômes P de E qui vérifient la propriété P(1) = P'(1) = 0
Pour savoir si un polynôme quelconque P(X) de E est dans D il suffit donc de regarder si P(1) = P'(1) = 0

Donc, à propos de 0(X) :
Que vaut 0(1) ?
Quel est le polynôme dérivé de 0(X) ?
Que vaut 0'(1) ?
Si tu trouves 0 et 0, alors tu as montré que 0(X) est dans D. Si tu as trouvé autre chose, alors tu as montré que 0(X) n'est pas dans D (et que tu t'es trompé)

[ThekamikazeFou]

ok je comprends ce que vous voulez dire,
0(1) = P(1) = 0 si j'ai bien compris?
De même 0'(1) = P'(1) = 0
comme 0(1)=0'(1) = P(1)= P'(1) = 0 alors le polynome nul est dans D tout simplement?

puis soit un polynome P1(X) on a :
P1(X) + P(X) = P2(X) donc la loi + est stable

et k*P(x) = P2(X) donc la loi . est stable

donc D est un sev de E ?

ensuite :
E= R3[X] et comme D est un sev de E alors D à 4 dimensions. D(X^3+X²+x+X^0)
est ce correct?

D' est l'ensemble des polynome tel que P(X) = (X-1)²(aX+b)
p(1) = 0
P'(x) = 2(x-1)(aX+B) + a(X-1)²(aX+b)
donc P'(1) = 0 dans D'

donc D= D'

est ce juste?
merci.

[Doraki]

Le P est juste un nom qu'on utilise dans D pour qu'on puisse se référer à l'élément qu'on est en train de tester.
Juste "0(1) = 0'(1) = 0" ça suffit pour expliquer que 0(X) est dans D.

Pour montrer que D est stable par +, tu prends un polynôme quelconque P1(X) de D (donc qui vérifie P1(1) = P1'(1) = 0) ; un autre polynôme quelconque P2(X) de D (donc qui vérifie ...); et tu dois montrer que le polynôme (P1+P2)(X) est dans D (c'est-à-direqu'il vérifie (P1+P2)(1) = (P1+P2)'(1) = 0)

[ThekamikazeFou]

ok merci, donc je ne dois pas montrer de maniere général si j'ai bien compris.
je ferais pareil pour la loi .

et le reste de l'exercice est il juste?

[Doraki]

Non le reste est tout aussi peu expliqué et faux. Par exemple aucun des polynômes X^3, X², X, 1, n'est dans D donc ils ne peuvent pas faire partie d'une base de D. Revoie bien les définitions et essaye vraiment de justifier tout ce que tu dis.