Espace vectoriel normé

[Ncdk]

Bonjour,

Soit l'espace vectoriel composé des fonctions continues sur l'intervalle .
Sur on considère les normes et
1) Soit l'ensemble . est-il fermé dans ? Dans ?
2) Les normes et sont-elles des normes équivalentes pour ?



J'ai prouvé que est fermé pour
Je pense qu'il faut prouver que c'est pas fermé pour

Mais je n'arrive pas à prouver qualitativement, je cherche en fait une fonction qui pourrait m'aider, j'arrive pas à la construire

La dernière question est assez évidente, dans l'optique où A est fermé pour

[jlb]

salut, considère pour n>1, la suite de fonctions f_n définies par:
pour x appartenant à [0;0,5] f_n(x) =1
pour x appartenant à ]0,5;0,5+1/n] f_n(x)= -nx + 1+n/2
pour x appartenant à ]0,5+1/n;1] f_n(x)=0

Vérifie que c'est une suite de fct de ton ensemble et qu'elle converge pour la norme | |_1 vers une fonction qui n'est pas dans ton ensemble.

[Ncdk]

Super merci, tu peux me dire comment tu as fait pour créer cette fonction, j'aimerai savoir refaire assez souvent ce genre de choses :D

[jlb]

tu fais un dessin!! en 1/2 cela doit faire 1 et ensuite tu complètes avec des fonctions constantes ou affines à partir de (1/2;1) pour avoir une discontinuité quand tu passes à la limite ( du coup tu te décales de 1/2 d'un petit truc)

[Ncdk]

D'accord merci, donc pour justifier, quand je dois faire l'intégrale de , je dois couper mon intégrale en 3 et voir que le résultat n'est pas dans A ?

[jlb]

D'accord merci, donc pour justifier, quand je dois faire l'intégrale de , je dois couper mon intégrale en 3 et voir que le résultat n'est pas dans A ?

bah non, si tu penses aux intégrales "en termes d'aire sous la courbe" tu "vois" que ta suite (f_n) tend vers la fct f telle que pour x appartenant à [0;0,5] f(x)=1 et pour x appartenant à ]0,5;1] f(x) =0

( si tu n'es pas convaincu, calcule intégrale de 0 à1 de |f_n - f|(x)dx cela te donne 1/(2n) "c'est le "petit triangle" qui s'ajoute à l'aire sous la courbe de f pour avoir l'aire sous la courbe de f_n")

Donc f_n tend vers f au sens de | |_1 mais comme f n'est pas continue f n'appartient pas à ton ensemble

[Ncdk]

Je pense que je saisis pas l'idée.

En fait il faut prendre une suite de fonction et qui converge pour vers .
Il faut seulement prouver qu'il existe

Si je prends la fonction que tu m'as passé :



Je dois en fait calculer mais je sais pas ce que je dois obtenir, pas compris ton explication en fait

[MouLou]

Je pense que je saisis pas l'idée.

En fait il faut prendre une suite de fonction et qui converge pour vers .
Il faut seulement prouver qu'il existe

Si je prends la fonction que tu m'as passé :



Je dois en fait calculer mais je sais pas ce que je dois obtenir, pas compris ton explication en fait

Non, tu ne dois pas calculer cette intégrale, mais l'intégrale de où f est censée être la limite de pour.

La tu dois un peu intuiter quelle sera sa limite, en calculant par exemple sa limite simple!

[Ncdk]

Bah en prenant f = 0, car c'est ce qu'on veut non ?

[MouLou]

Bah en prenant f = 0, car c'est ce qu'on veut non ?

Non, fait le dessin de cette fonction, regarde la limite simple, ca saute aux yeux que tu vas prendre f qui vaut 1 sur [0,1/2] et 0 sur ]1/2,1]

[Ncdk]

Mais c'est soit 0, soit 1
Sauf que , si on prend f=1 ça va pas :hein:

[MouLou]

Mais c'est soit 0, soit 1
Sauf que , si on prend f=1 ça va pas :hein:

Non c'est pas soit 0 soit 1, je comprends pas. La limite L1 de f_{n} c'est celle que je t'ai dit un point c'est tout.
La par contre y'a un probleme car cette fonction n'est pas continue. D'ou l'existence d'une suite de fonctions de A qui tend vers f qui n'est pas dans A. Donc A n'est pas fermé

[Ncdk]

Ah oui on en revient à f qui un coup est dans A et après ne l'est plus, donc c'est suffisant, je suis partit chercher loin...

[MouLou]

Exactement oui

[Ncdk]

Merci en tout cas pour vos réponses :)
D'ailleurs la fonction indicatrice aurait pu suffir ?

[MouLou]

Indicatrice de quoi?

[Ncdk]

La fonction indicatrice de , donc 1 si et 0 si

[MouLou]

Je suis désolé mais ca veut rien dire fonction indicatrice d'une fonction

[Ncdk]

Oui d'accord mais c'était dans le principe avec le 1 et 0, c'était juste ça, ça me fait penser à l'indicatrice :)

[Kolis]

salut, considère pour n>1, la suite de fonctions f_n définies par:
pour x appartenant à [0;0,5] f_n(x) =1
pour x appartenant à ]0,5;0,5+1/n] f_n(x)= -nx + 1+n/2
pour x appartenant à ]0,5+1/n;1] f_n(x)=0

Vérifie que c'est une suite de fct de ton ensemble et qu'elle converge pour la norme | |_1 vers une fonction qui n'est pas dans ton ensemble.

Bonsoir !
On peut "arranger" ton exemple mais ce n'est pas tout à fait régulier !
Si tu ne peux pas calculer