Espace vectoriel normé

[jlb]

Bonsoir !
On peut "arranger" ton exemple mais ce n'est pas tout à fait régulier !
Si tu ne peux pas calculer

salut, effectivement la suite proposée ne converge pas dans l'espace ambiant donc c'était mal parti dès le début. Merci.

[Kolis]

salut, effectivement la suite proposée ne converge pas dans l'espace ambiant donc c'était mal parti dès le début. Merci.

Embêtant car si on décide de prendre un espace plus grand, par exemple celui des fonctions continues par morceaux, l'intégrale ne définit plus une norme (il manque la séparation) et dans un espace non séparé il peut y avoir plusieurs limites.
Ici il y en a même une infinité (en modifiant en un nombre fini quelconque de points) et, pour décider que dans cette infinité aucune n'est continue ...Possible mais .)

A mon avis il vaut mieux raisonner par l'absurde : supposons qu'une limite existe dans l'espace donné.
Alors on aurait si car s'il existe avec , par continuité de en , il existe , un segment de longueur tels que et il en résulte la minoration de la norme de par ...
De même il faut et enfin la contradiction : non continue.

[jlb]

Du coup, as-tu une piste pour répondre à la question posée? Cela dépasse mes petites capacités mais hélas,m'intéresse. Merci.

[Ncdk]

Bonjour,

Et comme je l'ai dis tout simplement en proposant la fonction :



Ce n'est pas valable comme étude de fonctions ?

EDIT : On peut rajouter à un "" histoire que n apparaisse ?

[jlb]

salut, désolé pour t'avoir induit en erreur. Il faudra que quelqu'un d'autre t'aide. Ton exemple ne convient pas: vérifie par toi m^me, tes f_n appartiennent-ils à l'ensemble A? ( continuité? f(0,5)=1?)
En espérant que quelqu'un puisse t'aider et... assouvir ma curiosité!!!

[Ncdk]

Ah je vois, il faut qu'une fonction puisse prolongé par continuité histoire que ça rende f_n continue.
C'est la continuité que j'avais pas prit en compte, ça n'avait aucun sens :dodo:

On peut même poussé le truc plus loin, en prenant 1 quand
une fonction quand ]
une autre fonction quand
0 si

[MouLou]

Le soucis avec ton truc Kolis c'est qu'on va seulement pouvoir dire qu'elle ne converge pas vers une fonction continue, pas plus.

En revanche Si on rajoute En plus le fait qu'elle sera de Cauchy, mais qu'elle ne converge pas vers une fonction de A, alors on peut obtenir que A n'est pas complet, donc non fermé. Mais ca demande de connaitre la complétude.


Sinon on peut essayer de montrer que son complémentaire n'est pas ouvert? ie trouver dans tout voisinnage d'une fonction qiu ne vaut pas 1 en 1/2, une fonction qui vaut 1 en 1/2?

[jlb]

..., alors on peut obtenir que A n'est pas complet, donc non fermé. Mais ca demande de connaitre la complétude.

Salut, peux-tu développer? je ne suis pas très au fait de tout cela et cela ne me semble pas juste.

Merci pour l'approche directe, cela a l'air de fonctionner: le complémentaire de A n'est pas fermé, en effet, je considère la fonction fo constante 1/2, un petit dessin permet de trouver une fonction g continue aussi proche au sens de la norme de cette fonction constante et valant 1 en 1/2.
C'est correcte?

[Ncdk]

2x et 2x+1 ?

[MouLou]

Comprends pas ton post Nckd.

kolis tu as raison j utilise implicitement le fait que je le plonge dans l espace des fonctions intégrables, ce qu on veut éviter pour l instant car un peu délicat à définir proprement. Oublions. Par contre montrer que le complémentaire n est pas ouvert ça te semble bien?

[Kolis]

Il me semble que jlb propose cette solution (avec le lapsus (!) : non fermé à la place de non ouvert). La suggestion de Ncdk ne convient pas.
Il vaut mieux prendre une fonction affine par morceaux dont le graphe joint les points (0,1/2),(1/2-h,1/2),(1/2,1),(1/2+h,1/2),(1,1/2) avec h "assez petit".