équirépartition des sexes

[tournesol]

Bonjour à tous
Un de mes amis m'a soummi le problème suivant:
Dans un pays où les sexes sont équirépartis à la naissance , on applique la législation suivante :
Un couple peut avoir autant de garçon qu'il le désire tant qu'aucune fille n'est née , puis ne peut plus en avoir dès la naissance de la première fille .
Quelle est l'incidence de cette législation sur la répartition des sexes dans la population ?
J'ai abordé ce pb de deux façons:
1. Les familles ont des enfants tant qu'une fille ne nait pas.
Les compositions sont alors
F p=1/2
GF p=1/4
GGF p=1/8
etc.
Nombre moyen de filles par famille =1 , c'est évident .
Nombre moyen de garçons et je trouve 1
Donc répartition équidistribuée des deux sexes .
2. J'ai réparti les familles selon le nombre d'enfants qu'elles désirent avoir .
Un enfant : G ou F
Deux enfants : F ,GF , ou GG .
Trois enfants : F , GF , GGF , ou GGG .
etc
Pour n enfants on obtient un nombre moyen de fille égal au nombre moyen de garçons égal à
Donc , quelque soit les fréquences fn (éventuellement nulles si n est grand) des familles qui désirent n enfants on aura donc dans la population un nombre moyen de filles égal au nombre moyen de garçons
(dans les deux cas )
MA QUESTION:
Existe t-il un argument simple qui utilise , en amont de tout calcul , l'équirépartition des sexes à la naissance ?

[Rdvn]

Bonjour
Le pire est que cette méthode existe !
(J'ai peu de mérite : on m'avait déjà proposé cette énigme)
Il suffit de dénombrer par place dans les fratries :
les ainé(e)s
les cadet(te)s
les troisièmes...
...
1/2 à chaque fois (en moyenne, bien sûr)
Bonne journée

[tournesol]

Une petite précision : "ne peut plus en avoir " dans ma ligne 4 ne se rapporte pas à "garçons" mais à "enfants"
Le couple n'est plus autorisé à avoir des enfants des la naissance de la première fille .

[Rdvn]

Oui, c'est bien en ce sens que j'ai rédigé ma première réponse

[GaBuZoMeu]

Ne voulais-tu pas écrire :
"Un couple peut avoir autant d'ENFANTS qu'il le désire tant qu'aucune fille n'est née , puis ne peut plus en avoir dès la naissance de la première fille ." ?
(Je vois que c'est bien ça)

Si oui, on est dans le champ d'application du théorème de Doob évoqué dans un autre fil.
La filtration est la filtration à laquelle tout le monde pense sur les suites infinies de naissances G ou F ( est formée des événements relatifs aux premières naissances), la martingale est où est la différence nombre de filles moins nombre de garçons au bout de naissances, le temps d'arrêt (pour le scénario 1) est le premier où apparaît F.

On est dans la condition b) de l'énoncé du théorème mis en lien.

[tournesol]

merci rdvn mais je n'ai pas compris .
Pour moi les fratries autorisées sont
F, G , GF , GG , GGF , GGG, etc
il est clair que seuls les ainés sont équirépartis , les cadets sont des garçons ainsi que les enfants des autre rangs .

[GaBuZoMeu]

Je ne comprends pas vraiment comment le problème est posé dans le scénario 2. On fixe un et on s'arrête dès qu'une fille apparaît ou dès qu'il y a enfants ?
Dans ce cas, Doob, s'applique aussi.

Je m'aperçois que j'ai oublié d'expliciter la conclusion : , l'espérance de la différence filles - garçons est nulle.

[tournesol]

Merci GaBuZoMeu d'enrichir notre culture mathématique à partir d'un sujet accessible , mais on est loin d'être en amont de tout calcul car il a fallu démontrer le théorème de Doob .

[GaBuZoMeu]

Je n'ai moi-même pris connaissance du théorème de Doob que tout récemment grâce à Sylviel. Comme tu le sais, les nouveaux convertis sont les plus fanatiques. Ce théorème de l'arrêt de Doob est vraiment super, et ça serait bête de s'en passer !

[Rdvn]

Bonjour
Je détaille ma première réponse (qui suffit, sans calcul, comme demandé)
aîné(e)s garçon ou fille : 1 sur 2
seules les familles ayant eues un garçon comme aîné sont autorisées
à avoir un autre ENFANT, qui naît garçon ou fille : 1 sur 2 (c'est le deuxième de cette fratrie)
seules les familles ayant eu deux garçons peuvent faire naître un troisième enfant
(qui naît garçon ou fille : 1 sur 2)
etc,,,
Dans chaque groupe (aîné, deuxième, troisième...) il y a en moyenne 1 garçon sur 2 enfants,
c'est donc le cas aussi pour la population totale
Bonne soirée à tous

[GaBuZoMeu]

[tournesol]

Merci à tous .
J'ai abordé ce pb de façon calculatoire alors que seules les naissances sont pertinentes .
Ce sont elles qui alimentent la population et chacune d'elle donne un enfant avec équipartition du sexe .
En fait il faut comparer les couples à un ensemble de générateur de bits aléatoires .
La législation donne un protocole pour sélectionner certains générateurs et en arrêter ou en suspendre d'autres . Si l'on ne s'intéresse qu'aux bit produits , cet ensemble de générateurs devient lui même un générateur de nombres aléatoires .