Équation sous-espace affine : Où est l'erreur ?

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Mysterion
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Équation sous-espace affine : Où est l'erreur ?

par Mysterion » 20 Mai 2012, 19:27

Bonjour,

L'énoncé

Déterminer la dimension et trouver des  équations (en nombre minimal) du sous-espace affine engendré par les points ci-dessous de l'espace affine 4:

A1=(-1; 1; 0; 1), A2=(0; 0; 2; 0), A3=(-3;-1; 5; 4), A4=(2; 2;-3;-3);

La matrice composé des vecteurs est la suivante :



Par opération sur les colonnes on la réduit à celle-ci :



Rang = 2. Donc 4-2=2 équations définissent le sous-espace affine.

Un point si

Je pose le système :



Deux petits pivots de Gauss et :



Donc les deux derniers équations définissent mon sous espace affine... sauf que la réponse est :



Et que tous les points A1, A2, A3, A4 ne vérifient pas les équations que j'ai trouvé.

J'ai vérifié, et bien sure je n'ai rien trouvé... :triste:

Je suis a bout... :help: :help: :help: :help: please.



MacManus
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par MacManus » 20 Mai 2012, 22:55

Bonjour,
Mysterion a écrit:

Par opération sur les colonnes on la réduit à celle-ci :




Dès lors que ta matrice possède deux vecteurs colinéaires ou que l'un des vecteurs soit nul, tu peux supprimer une équation du système; or ce n'est clairement pas le cas ici !
Tu as juste effectué l'opération suivante : C2 <-- 3*C2 + 2*C3 (en te trompant d'ailleurs pour la deuxième coordonnée) et cela ne te donne pas le droit de supprimer une colonne de la matrice pour autant (la troisième en l'occurence).

Mysterion
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par Mysterion » 20 Mai 2012, 23:02

Mais le rang de la matrice est de 2 ! Donc la dimension du sous espace aussi. Donc deux équations. C'est le cours, du moins je l'ai compris comme ça...

wserdx
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par wserdx » 20 Mai 2012, 23:34

En effet le rang est bien 2.
Tu as calculé
M=C1, C2, C3
M' = C1, C1 + 2*C2, C1 - C2 - C3
On a C1 - C2 - C3 = 0 qu'on peut donc retirer de la liste
En calculant C'2 = C1 + 2*C2, tu as fait une erreur de calcul numérique, c'est -4 au lieu de 4.

MacManus
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par MacManus » 21 Mai 2012, 00:30

wserdx a écrit:En effet le rang est bien 2.
Tu as calculé
M=C1, C2, C3
M' = C1, C2 + 2*C1, C1 - C2 - C3
On a C1 - C2 - C3 = 0 qu'on peut donc retirer de la liste
En calculant C'2 = C1 + 2*C2, tu as fait une erreur de calcul numérique, c'est -4 au lieu de 4.


... bon c'était pas ma journée :scotch:

Mysterion
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par Mysterion » 21 Mai 2012, 00:31

Ah ! Oui, c'est bien -4.

Donc je me retrouve avec :



Et ça marche ! Enfin ! Bon sang faut que je sois plus rigoureux, en examen c'est le genre d'erreur qui paye...

En tout cas merci et bonne nuit !

Mysterion
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par Mysterion » 21 Mai 2012, 00:32

Oui j'avais oublié de te dire pour tes petites erreurs sur les opérations de colonnes

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alm
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par alm » 21 Mai 2012, 02:23

Bonsoir:
Mysterion a écrit:Bonjour,

L'énoncé

Déterminer la dimension et trouver des  équations (en nombre minimal) du sous-espace affine engendré par les points ci-dessous de l'espace affine 4:

A1=(-1; 1; 0; 1), A2=(0; 0; 2; 0), A3=(-3;-1; 5; 4), A4=(2; 2;-3;-3);

La matrice composé des vecteurs est la suivante :



Par opération sur les colonnes on la réduit à celle-ci :



.


Je veux juste ajouter que la troisiéme colonne de la matrice M est la différence de la première et la seconde si bien que tu aurait pu directement donné une base deu sous-espace en question sans faire d'operations sur les lignes et/ou les colonnes.
Le jour de l'examen, essayer d'avoir l'habitude de cherche s'il ya des relations simples entres les colonnes (puis les les lignes) avant de commencer des éventuels calculs.

 

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