Entiers relatifs

[Victhemath]

Bonsoir, j'ai des questions au sujet de mon cours sur les entiers relatifs :

Tout d'abords, j'ai : (, +) n'est pas un groupe car 0 a un opposé.

Qu'est-ce qu'un groupe finalement ?

Par la suite, j'ai ( , ) est un groupe.

Quelqu'un peut-il me donner une définition d'un groupe ?

[capitaine nuggets]

Salut !

Bonsoir, j'ai des questions au sujet de mon cours sur les entiers relatifs :

Tout d'abords, j'ai : (, +) n'est pas un groupe car 0 a un opposé.

Qu'est-ce qu'un groupe finalement ?

Par la suite, j'ai ( , ) est un groupe.

Quelqu'un peut-il me donner une définition d'un groupe ?

Un ensemble muni d'une loi interne est un groupe, et on le note , si :
- est associative ;
- admet un élément neutre pour la loi ;
- Tout élément de admet un symétrique pour .

n'est pas un groupe parce, par exemple, n'admet pas d'inverse dans pour la loi : en effet, il n'existe pas dans , tel que

[Victhemath]

Merci pour le réponse, mais alors pourquoi (, +) n'est pas un groupe ?

[jlb]

un ensemble G muni d'une loi T de GxG dans G ayant de bonne propriété:

* la loi possède un unique élément neutre e : gTe=eTg pour tout g de G
* tout élément g de G admet un unique inverse g' dans G: gg'=g'g=e
* la loi est associative: pour g,g',g'' dans G, gT(g'Tg'')=(gTg')Tg''


(N,+) pas d'inverse !!
(Z,+) c'est bon

[ remarque: on peut réduire les contraintes pour définir un groupe]

[capitaine nuggets]

Merci pour le réponse, mais alors pourquoi (, +) n'est pas un groupe ?

Je t'ai répondu :lol3: :

n'est pas un groupe parce, par exemple, n'admet pas d'inverse dans pour la loi : en effet, il n'existe pas dans , tel que

[Victhemath]

Ha d'accord, même si l'on prive l'ensemble (, +) de 0, le fait que la loi de l'addiction impose la symétrie montre que c'est pas possible pour les entiers naturels. Sur les réels par contre le groupe fonctionne ?

En définitive, le groupe est régie par la loi que l'on souhaite mais il faut que les propriétés de la loi coïncident avec l'ensemble choisi au départ.

[capitaine nuggets]

Ha d'accord, même si l'on prive l'ensemble (, +) de 0, le fait que la loi de l'addiction impose la symétrie montre que c'est pas possible pour les entiers naturels. Sur les réels par contre le groupe fonctionne ?

En définitive, le groupe est régie par la loi que l'on souhaite mais il faut que les propriétés de la loi coïncident avec l'ensemble choisi au départ.

est encore moins un groupe puisque, toujours, tout élément n'admet pas de symétrique (opposé ici pour l'addition +), mais aussi, l'addition n'admet pas d'élément neutre dans puisque tu as enlevé l'élément neutre :++:

est effectivement un groupe :
1°) + est interne et associative dans ;
2°) 0 est l'élément neutre pour l'addition dans ;
3°) Tout réel admet un symétrique () dans .

J'ai pas très bien compris ta conclusion par contre :triste:

[Ben314]

est encore moins un groupe puisque, toujours, tout élément n'admet pas de symétrique (opposé ici pour l'addition +), mais aussi, l'addition n'admet pas d'élément neutre dans puisque tu as enlevé l'élément neutre :++:

D'autant plus que, lorsque tu n'a pas de neutre, ben ça devient un peu plus difficile de donner une définition du "symétrique"... :zen:

J'ai pas très bien compris ta conclusion par contre :triste:

Je pense qu'il voulait dire que la même loi (+ en l’occurrence) peut munir certains ensembles (les réels par exemple) d'une structure de groupe mais pas d'autres (les entiers par exemple)
@Victhemath : sauf que, bien qu'on la note toujours de la même façon "+", l'addition sur les entiers n'est pas la même loi que l'addition sur les réels : tu auras sans doute un cours un jour où le prof se fera c... pendant une heure à noter différemment les deux lois en notant par exemple la deuxième. Puis au bout d'une heure, lorsqu'il aura vérifié que la nouvelle loi se comporte comme la loi '+' usuelle, il dira "allez hop, on arrête de mettre des rond autours des +"

[Victhemath]

Merci beaucoup à vous deux ! :) Oui Ben, le cours sur les réels arrive bientôt et je penserai à toi :D