Entiers consécutifs dont le produit est égal à la somme

par **Dinozzo13** » 03 Juil 2009, 19:57

Ok :ptdr: ,merci encore pour votre aide, je vais néanmoins attendre de voir si quelqu'un d'autre à une idée sur la résolution de cette équation.

par **Dinozzo13** » 03 Juil 2009, 21:18

J'ai une idée, on peut peut-être utiliser une récurrence, non ?

par **Euler911** » 03 Juil 2009, 21:25

Une récurrence sur quoi?

par **Dinozzo13** » 03 Juil 2009, 21:30

Eh bien on essaie avec deux entiers consécutifs, puis trois, puis 4, et on regarde ce que ça donne, si on peut conjecturer quelque chose, puis on le vérifie à l'aide d'un raisonnement par récurrence.

par **Euler911** » 03 Juil 2009, 21:31

Je t'en prie, conjecture quelque chose :-)

par **Dinozzo13** » 03 Juil 2009, 21:35

je ne trouve rien de très pertinent malheureusement :triste: , il nous faudrait de l'aide mais 'y a personne qui vient ^^

par **Euler911** » 03 Juil 2009, 21:36

Patience est mère de sagesse:P

par **Dinozzo13** » 03 Juil 2009, 21:45

:ptdr: oui, je veux, bien, mais ce n'est pas elle qui va nous donner la solution à ce problème :ptdr:

par **Dinozzo13** » 03 Juil 2009, 22:01

On pourrait peut-être s'aider de la formule

, non ?

par **Euler911** » 03 Juil 2009, 22:05

je ne vois pas comment.

par **Dinozzo13** » 03 Juil 2009, 22:13

nam ça ne mènerais nulle part.
Avec ce que vous m'avez donné,

on peut dire que

, après je pense qu'il faut envisagé deux cas, n pair ou n impair.

par **Dinozzo13** » 03 Juil 2009, 22:20

Bon après, je ne sais pas si ça apporte grand chose :triste: .

par **Luc** » 04 Juil 2009, 01:01

Bonjour,

En fait le problème n'a pas de solution non triviale autre que le triplet (1,2,3) pour

. C'est dû au fait qu'à

fixé, le produit est strictement plus grand que la somme (récurrence facile sur n).
Les cas p=1 et p=0 se règlent facilement, on obtient le triplet (1,2,3) solution.

Il reste donc les cas [TEX] p 0.

par **Dinozzo13** » 04 Juil 2009, 01:05

D'accord :ptdr: , donc lorsque p<0 on a pour solutions le triplet (-1,-2,-3).

par **Dinozzo13** » 04 Juil 2009, 01:11

Et en ce qui concerne le triplet (-1,0,1), que peut-on dire ?

par **Luc** » 04 Juil 2009, 01:32

Oui mais ce ne sont pas les seules...

Dans le cas 0 > p > -n, on a forcément un terme (p+(-p)) dans le produit, qui est donc nul. Et la seule façon d'avoir une somme d'entiers consécutifs nulle, c'est d'avoir exactement 2p+1 termes dans la somme. (p+p+1+...+(-p-1)+(-p).

Reste donc le cas p < -n < 0.

Les cas p=-1 et p=-2 se règlent facilement (pas de solutions autres que celle ci-dessus).

Si p < -2, on pose q=-p > 2

On a
(-q)*(-q+1)*...*(-q+n)=-(q+q-1+...+q-n), qui se réécrit comme
(-1)^(n+1)*q*(q-1)*...*(q-n)=-(q-n+...+q).

Donc forcément n est pair (car le terme de droite est négatif), et en plus (q-n,q-n+1,...,q) est solution, avec q-n > 0. D'après le raisonnement dans le cas p >0, on en déduit que q-n =1, n=2, et on tombe donc sur (-3,-2,-1).

Voilà, tous les cas sont traités, les solutions (p,n) sont donc:

- Les couples (p,0)
- Tous les (2p+1) uplets allant de -p à +p.
- (-3,-2,-1) et (1,2,3)

Il n'y en a pas d'autres: l'exercice sur les triplets était donc bien choisi :zen:

par **Dinozzo13** » 04 Juil 2009, 02:44

Je regarderais ça un peu plus en détail demain, néanmoins ce que j'ai pu lire semble cohérent et logique. Si il y a un point que je n'ai pas compris, je posterais une question ici, merci de votre aide :ptdr: .

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