Ensemble de morphismes

[Dinozzo13]

Bonjour, aujourd'hui je m'attaque à un exercice que je trouve sympa :

Déterminer l'ensemble des morphisme de dans .

J'ai commencé par dire que déterminer tous les morphismes de dans équivaut à déterminer l'ensemble des applications telles que : .
Après quelque tâtonnement, j'en ai déduis que les applications sont toutes solutions de cette équation fonctionnelle.
Mon seul problème est de savoir comment montrer que ce sont les seules !

Merci :++:

[Doraki]

ben faut montrer que pour tout morphisme f de (Q,+) dans (Q,+), il existe un rationnel a tel que pour tout x de Q, f(x) = ax.

1ère chose à faire : Etant donné un morphisme f, quel rationnel a comptes-tu choisir ?

[Dinozzo13]

Ben, je ne sais pas. Le choix a-t-il un impact décisif pour la suite ?

[Doraki]

Ben, je ne sais pas. Le choix a-t-il un impact décisif pour la suite ?

Ben ouais. Si tu choisis a=12 et que f(x) n'est pas 12x, tu vas avoir un problème.

[ashtoonet]

Salut à toi,

Il faut montrer que pour tout k appartenant à N, f(k)=kf(1), donc par récurrence
Du coup tu en déduis la même chose pour tout k appartenant a Z-
Il faut ensuite que tu montres que f(p/q)=p/qf(1) avec p/q appartenant à Q (pas par récurrence du coup..)
Et enfin, pour tout x appartenant à Q, on aura montrer que f(x)=f(1)x, alors soit x un réel, il existe une suite (xn) de N dans Q tel que xn->x. Or f est supposée continue (car fonction affine..)
donc f(xn)->f(x)
Or f(xn)=xnf(1)->xf(1)
donc f(x)=xf(1).

C'est ce que tu voulais montrer ?

edit : je l'ai élargie à R, je sais pas trop si ça change quelque chose dans le raisonnement .. :hum: