Ensemble dénombrable.

[mystic_snake [Théo]]

Il me faudrait une petite aide pour demain... Il faudrait que je (re)trouve 2 démos:
-Soit E un ensemble dénombrable et f:E->F (ensemble quelquonque) une Fonction surjective, alors F est dénombrrable.
-Soit F un ensemble dénombrable et g:E->F injective. Alors E est dénombrable.

merci bien ^^

PS: Je parle d'ensembles dénombrables dans le sens ensemble équipotent à lN.

[thedream01]

il me semble que ta première affirmation est fausse:
Q est dénombrable et R ne l'est pas,
Or f:Q->R tel que f(q)=q est injective!!!
ça ne serait pas plutot surjective?

[mystic_snake [Théo]]

excat pardon, je dis n'importe quoi aujoursd'hui, j'ai modiié le sujet, c'est plus clair maintenant.

[thedream01]

En utilisant les définitions de la surjectivité et de la bijectivité ça marche! il suffit de construire une bijection entre F et IN en utilisant le fait que E est en bijection avec IN.

[mystic_snake [Théo]]

certes, mais bon, la théorie est là, mais il me faudrait expliciter ces fonctions car j'ai du mal à montrer proprement une existence correcte.

[mystic_snake [Théo]]

et surtout pour la première en fait.

[thedream01]

tu es sur de ta proposition de départ?
si tu prends F={1}, donc f(x)=1 pour tout x dans F (f est bien surjective)
Mais il n'esxiste pas de bijection entre IN et {1}

[mystic_snake [Théo]]

il me semble que c'est juste pourtant... j'avais montré tout ça il y a 5 mois, mais je sais plus. Peut être qu'il manque un préalable, genre que les 2 ensembles relatifs à la fonction soient infinis? Dans ce cas là il me semble ça a plus de sens.

[mystic_snake [Théo]]

je me sent seul... il me manque plus que la première en fait.

[fahr451]

bonjour la première est bien fausse comme le dit thedream

elle devient vraie si on remplace dénombrable par au plus dénombrable (fini ou dénombrable)

[mystic_snake [Théo]]

pourtant si on suppose que les ensembles sont infinis ça ne marche pas?

Parce que pourtant il me semble avoir vu ça il y a quelques mois, mais je n'arrive malheureusement plus à retrouver une preuve.

[thedream01]

j'ai donné un contre exemple. Donc ce que tu affirmes est faux!
Tu as surement du oublié des données!

[fahr451]

ben oui si de plus les ensembles sont infinis c'est vrai (je l'ai écrit)

[mystic_snake [Théo]]

justement, la donnée ne serait pas que les ensembles sont infinis? puisque si l'on parle de dénombrabilité, il faut forcément un ensemble infini. Et dans ce cas là, ton contre exemple n'est plus viable.

PS: ok, on se dispute depuis une heure alors qu'on est en fait d'accord. O_o
J'ai réussi à bidouiller un truc qui devrait tenir pour la deuxième preuve, mais la première me pose toujours un problème, j'arrive pas à trouver une fonction adéquate

[thedream01]

oui oui, tu as raison! il faut préciser que F est infini

[thedream01]

Bein dans ce cas là, tu peux procéder par l'absurde!
Si tu supposes que F n'est pas dénombrable, ie: n'est pas en bijection avec IN, comme F est infini, alors F est plus gros que IN.
Et comme E est en bijection avec IN, alors tu peux poser g:IN->F surjective.
Ce qui est absurde car F est plus gros que IN!
ça marche non?

[mystic_snake [Théo]]

en fait ça revient à dire
pour une application sujective, l'image ne peut contenir plus d'éléments que la source... Idem dans l'autre sens pour une fonction injective.
non?

[thedream01]

Oui, et quand les ensembles sont infinis, on ne peut pas parler de cardinal, donc on les classe en disant qu'un ensemble est plus gros qu'un autre ou plus petit... (j'espère que je ne raconte pas trop de bétises)
Pour la fonction injective, l'ensemble d'arrivée ne peut pas étre plus petit que l'ensemble de départ!

[mystic_snake [Théo]]

pourtant il me semble avoir vu plus d'une fois Card(IN) = aleph-0... c'est pas propre?