Ensemble discret non dénombrable

par **acoustica** » 21 Aoû 2012, 17:35

Bonjour,

Je me posais la question : existe t-il des ensembles discrets non dénombrables ? Sur wiki, "ils" disent que oui, mais je n'ai pas trouvé d'exemples. Il me semble que l'ensemble des matrices non inversibles est discret non dénombrable, mais j'aimerais le mettre en forme. Help ? :zen:

par **vincentroumezy** » 21 Aoû 2012, 18:52

Je pense que déjà tout sous-ensemble discret de

est dénombable, ou alors mon intuition m'a trompé..

par **Skullkid** » 21 Aoû 2012, 18:58

Bonjour, tout ensemble muni de sa topologie discrète (la bien nommée) est discret, c'est même quasiment la définition de "discret".

L'ensemble des matrices inversibles n'est pas discret pour la topologie usuelle (il n'a même aucun point isolé).

par **vincentroumezy** » 21 Aoû 2012, 19:13

Je voulais dire, tout sous ensemble de R pour la topo usuelle.

par **acoustica** » 21 Aoû 2012, 20:06

Skullkid a écrit:Bonjour, tout ensemble muni de sa topologie discrète (la bien nommée) est discret, c'est même quasiment la définition de "discret".

L'ensemble des matrices inversibles n'est pas discret pour la topologie usuelle (il n'a même aucun point isolé).

Je voulais dire "l'ensemble des matrices non inversibles" en fait. Cette fois, il s'agit bien d'un ensemble discret ? Puisque si on change d'un poil un paramètre de la matrice, on n'a plus un déterminant nul. Toutefois, il me semble impossible de dénombrer les matrices inversibles (ça doit pouvoir se prouver à partir de l'indénombrabilité de R...)

par **Matt_01** » 21 Aoû 2012, 20:11

acoustica a écrit:Je voulais dire "l'ensemble des matrices non inversibles" en fait. Cette fois, il s'agit bien d'un ensemble discret ? Puisque si on change d'un poil un paramètre de la matrice, on n'a plus un déterminant nul. Toutefois, il me semble impossible de dénombrer les matrices inversibles (ça doit pouvoir se prouver à partir de l'indénombrabilité de R...)

Ca reste un ensemble non discret.
En trigonalisant (on aura donc au moins un 0 sur la diagonale) et en perturbrant la partie strictement supérieure de la matrice, on reste non inversible.

par **acoustica** » 21 Aoû 2012, 20:18

Matt_01 a écrit:Ca reste un ensemble non discret.
En trigonalisant (on aura donc au moins un 0 sur la diagonale) et en perturbrant la partie strictement supérieure de la matrice, on reste non inversible.

Effectivement... Mais alors quels contre-exemples d'ensembles discrets non dénombrables ?

par **Matt_01** » 21 Aoû 2012, 20:19

acoustica a écrit:Effectivement... Mais alors quels contre-exemples d'ensembles discrets non dénombrables ?

Si on choisit la topologie c'est facile comme l'a dit Skullkid.
Dans les topologies usuelles, ca doit être moins facile à trouver.

par **barbu23** » 21 Aoû 2012, 20:24

Un ensemble discret non dénombrable est un ensemble fini non ?

par **acoustica** » 21 Aoû 2012, 20:25

Matt_01 a écrit:Si on choisit la topologie c'est facile comme l'a dit Skullkid.
Dans les topologies usuelles, ca doit être moins facile à trouver.

D'accord, je vois l'idée... Merci !

par **Nightmare** » 22 Aoû 2012, 11:46

Hello,

Sauf erreur on peut prendre 2^N muni de la topo usuelle

par **nodjim** » 22 Aoû 2012, 13:35

Y parait que R, depuis Cantor, n'est pas dénombrable.

Ensemble discret non dénombrable

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