Ensemble dénombrable et Irrationnels

[Mescalito]

J'ai deux petits problèmes à résoudre:

1)Montrer que l'ensemble des nombres réels de le forme a+b3^(1/2)
(lire a plus b fois racine de trois) , avec a et b dans N, est dénombrable.

2)Démontrer que racine de 2/3 est irrationnel.

Merci :happy2:

[achille]

une première idée est de poser une application (a,b)->a+b3^(1/2)
il restera à démontrer que N^2 est dénombrable, cependant j'arrive pas à voir clairement si N^2 l'est et si oui quelle serait la preuve :mur:

[Cygnusx1]

Ne peut on pas dire que N^2 est dénombrable en rangeant tous les couples de N^2 dans l'ordre lexicographique ?

[Mescalito]

Ne peut on pas separer a et b3^(1/2) en deux fonctions denombrables et deduire que le tout est denombrable?

Et sinon la deuxieme question?

[achille]

je ne vois pas comment ça pourrai servir, car il faut trouver une bijection avec N ou un ensemble dénombrable pour prouver la chose.

[legeniedesalpages]

bonsoir, on prend quelle définition pour "dénombrable" ici? Considère-t'on les ensembles finis comme dénombrable Mescalito?

[alben]

Bonjour,

1Pour démontrer que N² est denombrable, le plus direct consiste à construire une bijection avec N. (Ranger dans une grille les entiers en mettant les n² premiers dans un carré de coté n par exemple).
2 pour racine(2/3) irrationnel, raisonner par l'absurde en supposant qu'il existe une fraction irréductible p/q vérifiant 2q²=3p² et s'intéresser à la divisibilité par 2 et par 3....
PS au génie des alpages : il me semble que dénombrable veut dire en bijection avec N, ce n'est pas "au plus dénombrable" qui inclut la finitude :we:

[legeniedesalpages]

PS au génie des alpages : il me semble que dénombrable veut dire en bijection avec N, ce n'est pas "au plus dénombrable" qui inclut la finitude

oui je sais, mais mon prof nous as dit que c'est une définition de puriste qui font la distinction entre dénombrable et au plus dénombrable, et que la définition qui inclut la finitude est utilisée par 90% de ces collègues.

Enfin personnellement j'utilise la tienne mais je voulais juste m'assurer de la définition qu'on utilisait dans l'énoncé de cet exo.

[Mescalito]

Oui ici les ensembles denombrables sont infinis.

Merci alben pour la question 2 :id:

Quelqu un a t il une reponse claire pour la question 1???

[legeniedesalpages]

la fonction dans cet article: [url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_dénombrable]http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_dénombrable[/url]

[Edrukel]

IN*IN-->E
il est clair qu'il y'a surjectivité,injectivé est aussi facile non ?
si j'ai faux c'est que j'ai mal compris la question de "dénombrable"

[Mescalito]

Merci pour le lien mais je pourrais avoir le raisonnement complet parceque je vois pas trop?

Pour la 2 si je dis p=(racine de(3/2))xq est impossible car p entier et (racine de(3/2))xq réel, c est bon?

[legeniedesalpages]

non non je pense qu'il n'y a pas de problème Edrukel.
L'injectivité est facile à montrer et la surjectivité est immédiate.

[alben]

Pour la 2 si je dis p=(racine de(3/2))xq est impossible car p entier et (racine de(3/2))xq réel, c est bon?

Non tu utilises le fait que racine de 3/2 est irrationnel pour le montrer :briques:
Si 2p²=3q², 2, divise 3q², il ne divise pas 3 donc il divise q² et q est pair. Donc q² est multiple de 4 ce qui implique que p est aussi pair et finalement p et q étant pairs tous deux, la fraction est simplifiable->contradiction donc p et q ne peuvent exister...

[legeniedesalpages]

Mescalito, il faut que tu montres que l'application est bijective.

pour un entier a non nul tu écris sa décomposition en facteurs premiers:


cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près et est un produit de nombres premier distinct de 2 donc impair,
ainsi il existe un unique entier m tel que .

Ceci nous assure l'existence et l'unicité de (m,n) telle que son image est a.

Après il suffit de voir que N et N* sont équipotents.

[Mescalito]

Bien sur! Merci Alben.

Par contre je ne vois pas d'ou tu sors cette application geniedesalpages

[legeniedesalpages]

c'est l'application bijective de dans du lien [url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_dénombrable]http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_dénombrable[/url] qui te permet de montrer que est dénombrable (je crois que ce n'est pas la seule), la démo de sa bijectivité s'appuie essentiellement sur le théorème fondamental de l'arithmétique.