1°) Montrer que le rang d un endomorphisme nilpotent est inférieur ou égal a n-1
2°) Soit u appartient L(E), nilpotent d indice p
On choisit x0 appartient a E tel que u^P-1(x0) différent de 0
a°)
Montrer que la famille (xo,u(xo),u^2(xo),...,u^p-1(xo)) est libre
b°)
Que peut on en déduire sur les valeurs possibles de p ?
3°)Soit u appartient a L(E),
Montrer que pour que u soit nilpotent d indice n il faut et il suffit qu il existe une base (ei)1=
Pour tout i de [1,n-1] , u(ei)=ei+1 ET u(en)=0
4°)
Un exemple de dimension 3
Ici K=Q,R ou C et n=3 ,Soient (a,b,c) une base de E et u l endomarphisme de E définie par:
u(a)=a-b+c, u(b)=-a+2b-2c, u(c)= -2a+3b-3c
Montrer que u est nilpotent d indice 3 et determiner une base (e1,e2,e3) de E satisfaisant aux conditions du 3
5°)
Dans cette question, u est un endomarphisme quelconque de E.
a)Montrer que pour tout k de N Imu^k+1 est inclus dans Imu^k et Imu^k+1=u[Imu^k]
b°)
montrer que pour tout k de N rgu^k-rgu^k+1 = dim[(Ker u)inter(Imu^k)] (envisager u'=u avec pour source restreinte a Im u^k)
c°) En déduire que la suite de terme général rg u^k - rgu^k+1 est décroissante
6°)
On suppose ici que u est nilpotent d indice p et de rang r
a)Montrer que pour tout k de [0,p-1], rg(u^k)-rg(u^K+1) >= 1
b)En déduire du 5°) l encadrement n/(n-r)=
r=1 => p=2
r=n-1 <=>p=n
7°)
Construction d'exemples en dimension 4
Ici,K=Q,R ou C et n=4, soit B=(a,b,c,d) une base de E.
En le définissant par son action sur la base B, donner un exemple d'endomorphisme nilpotent :
a) de rang 1 b) de rang 2 et d'indice 2 c) de rang 2 et d'indice 3 d) de rang 3.
8°)
On suppose ici que u est nilpotent et que F est un sous-e.v. de E stable par u ; on pose k = dim F et u* de source et de but F . Montrer que u* est nilpotent d'indice inférieur ou égal à k ; en déduire que F est inclus dans Ker u^k
9°)
On suppose maintenant que u est nilpotent d'indice n.
a) Montrer :que pour tout k de [0,n] dim(ker u^k)=k
b) En déduire que les sous e.v. de E stables par u sont exactement les Ker u^k, pour k de[0, n].
10°)
Une application aux polynomes
Ici, K = Q, R ou C
a) Soit n N. Trouver tous les sous-e.v. de Kn [X] stables par dérivation.
b) Trouver tous les sous-e.v. de K [X] stables par dérivation.
voila a bon entendeur salut !!!!