élements nilpotents Z/12Z

[tommheolig]

Bonjour,

Soit I = {classe de 0, classe de 4, classe de 8} un idéal de Z/12Z. Calculer le radical de l'idéal I.

Pour calculer le radical, il faut que je cherche les éléments qui vérifient :

a^n = 0 [12]

a^n = 4 [12]

a^n = 8 [12]

Pour a^n = 0 [12], j'ai : a^n | 12 donc a | 12 donc a | 2 et a | 3 donc a = 0 ou a = 6.

Pour les deux autres, je vois pas trop comment faire..

Merci pour votre aide

[Ben314]

Salut,

Pour a^n = 0 [12], j'ai : a^n | 12 donc a | 12 donc a | 2 et a | 3 donc a = 0 ou a = 6.

Eh ben, c'est sacrément mal barré...
- Déjà, d'écrire que a^n=0 [12] sans écrire en toute lettre (avant ou après) que c'est un "il existe un n tel que", ça va évidement faire que tu va pas savoir quoi foutre de ton n dans tout les calculs que tu fera ensuite.
- Ensuite, le fait que a^n=0 [12], ça signifie que 12 divise a^n et pas le contraire.
- Enfin, le fait que 12 divise a^n, ça implique pas que 12 divise a. Par exemple 12 divise 36=6^2 et il ne divise pas 6.

Sinon, concernant le "comment faire", faut évidement commencer par voir que ton idéal, c'est bêtement les multiples de 4 modulo 12. Et comme 12 est divisible par 4, c'est que ton idéal, c'est les multiples de 4 tout court.

Ensuite, si tu prend un entier a, à quel condition existe-t-il une puissance de a qui est un multiple de 4 ?

[tommheolig]

à condition que 4 divise a^n

[Ben314]

à condition que 4 divise a^n

Non : c'est à condition qu'il existe un entier n tel que 4 divise a^n.

Et tant que tu t'obstineras à utiliser des lettres (=variables) sans préciser quel est leur "nature", ben tu arrivera jamais à rien : tu écrira juste du charabia sans le moindre sens, ni pour toi, ni pour les autres.
Il est archi. fondamental de comprendre que la phrase "4 divise a^n", elle dépend de a et de n alors que la phrase "il existe un entier n tel que 4 divise a^n", elle ne dépend que de a et c'est tout.

Sinon, tout ce que tu écrit là, ben c'est exactement la même chose que la question posée (à savoir "à quel condition existe-t-il une puissance de a qui est un multiple de 4"), sauf que contrairement à la question qui me semble on ne peut plus claire, ben c'est du "charabia".
Si tu tient absolument à écrire exactement le même truc que la question, mais en utilisant les symboles mathématique, tu peut écrire : voire même .
A toi de voir si c'est plus compréhensible (pour toi et/ou les autres) que "il existe une puissance de a qui est un multiple de 4" mais ce qu'il y a de sûr, c'est que tu as pas avancé d'un iota en écrivant ton truc sous cette forme là (et que tu as même fait une sacré marche arrière si tu n'a pas écrit le vu que tu as changé le sens de la proposition).

Donc je reformule la même question de façon encore plus simple :
Existe t-il une puissance de 0 qui soit multiple de 4 ?
Existe t-il une puissance de 1 qui soit multiple de 4 ?
Existe t-il une puissance de 2 qui soit multiple de 4 ?
Existe t-il une puissance de 3 qui soit multiple de 4 ?
Existe t-il une puissance de 4 qui soit multiple de 4 ?
Et en général ?

[tommheolig]

Existe t-il une puissance de 0 qui soit multiple de 4 ? non
Existe t-il une puissance de 1 qui soit multiple de 4 ? non
Existe t-il une puissance de 2 qui soit multiple de 4 ? oui
Existe t-il une puissance de 3 qui soit multiple de 4 ? non
Existe t-il une puissance de 4 qui soit multiple de 4 ? oui

En général, si a est un multiple de 4 ( ou divise 4 pour le cas a = 2), alors il existe n tel que a^n est un multiple de 4

[Ben314]

En général, si a est un multiple de 4 ( ou divise 4 pour le cas a = 2), alors il existe n tel que a^n est un multiple de 4

Est-ce un "si et seulement si" (c'est à dire une équivalence) ?

[tommheolig]

Oui ?

[Ben314]

Non : 6^2=36 est divisible par 4 alors que 6 n'est pas divisible par 4 et ce n'est pas non plus un diviseur de 4.

[tommheolig]

Je vois...

En tout cas, dans mon problème, je dois donc bien déterminer les a, tel que a multiple de 4 ou diviseur de 4 dans Z/12Z ? C'est à dire 0,2,4,8 ?

[Ben314]

En tout cas, dans mon problème, je dois donc bien déterminer les a, tel que a multiple de 4 ou diviseur de 4 dans Z/12Z ? C'est à dire 0,2,4,8 ?

Non, toujours pas : tu doit déterminer les a tels qu'il existe une puissance de a qui soit un multiple de 4 (c'est la définition du radical d'un idéal).