Elements nilpotents d'un anneau

[Nightmare]

Salut !

En révision pour les exams, je suis en ce moment sur le chapitre anneaux-modules.

En exercice, il est proposé de démontrer que dans un anneau A, un élément nilpotent est dans tout idéal premier de A.

Facile étant donné que la projection canonique de x sur sa classe dans A/P (ou P est un idéal premier) conserve la nilpotence et par intégrité de A/P, la classe de x est nulle et donc x est dans P.

Par contre, même s'il n'est à priori pas question de le démontrer dans l'exercice, il y est quand même indiqué que la réciproque est aussi vraie mais, je cite, "plus difficile à démontrer"

Je n'arrive pas démontrer cette réciproque. Il s'agit en fait de montrer que si l'on se fixe un élément x de A non nilpotent, on va toujours pouvoir trouver un idéal premier qui ne le contient pas. Ceci étant dit, je suppose donc que le résultat va nécessiter l'axiome du choix. Je considère alors, à juste titre je pense, l'ensemble des idéaux de A qui ne contienne ni x, ni aucune de ses puissances. Le système est inductif pour l'inclusion, cependant, je n'arrive pas à montrer que l'élément maximal est premier.

Pourriez-vous m'indiquer comment procéder?

[Doraki]

J'vois pas tellement de problème pour le montrer :
Soit I un idéal qui ne contienne aucun x^k, maximal pour l'inclusion.

Si a et b sont deux éléments qui ne sont pas dans I alors il existe k tel que
x^k soit dans I+(a) et dans I+(b), par maximalité de I.
Mais alors x^2k est dans I+(ab), et donc I+(ab) est différent de I.
Et donc ab n'est pas dans I.
Donc I est bien un idéal premier.

[Nightmare]

x^k soit dans I+(a) et dans I+(b), par maximalité de I.

Je ne comprends pas bien pourquoi ceci est vrai...

Edit : Ok, I+(a) inclus dans I mais I maximal et comme a n'est pas dans I, forcément I+(a) n'est pas dans notre ensemble inductif, donc contient une puissance de l'élément nilpotent.