Endomorphisme nilpotent.. !

par **sandrine_guillerme** » 21 Avr 2007, 19:50

Bonjour,

j'ai avancé légèrement ma révision, et là ce soir, je commence les endomorphismes nilpotents,
cours très sympa, mais qui me semble légèrement déconnecté avec ce qui était avant à savoir avec la réduction ..

et c'est pour ça que je fais appel à vous, vous en pensez quoi? quelle est la relation entre la réduction et la nilportence, entre les vecteurs propres et le polynome caractéristique, avec l'injectivité l'inversibilité et tout et tout

j'ai quelques connaissances , mais elles sont si vague que je n'ai envie de rien dire sous peine que ça soit des conneries,

et puis ,

et puis tout mes remerciements mais chèrs amis matheux .. !

par **thedream01** » 21 Avr 2007, 20:07

Salut!
Les valeurs propres sont les racines du polynome caractéristique non?
et il me semble que lorsqu'on calcule la puissance n-ième par exemple d'une matrice, on applique l'algorithme de jordan pour la trigonaliser, puis on écrit la matrice obtenue auparavant sous forme de somme d'une matrice diagonale et d'une matrice nilpotente...
C'était ça ta question?

par **sandrine_guillerme** » 21 Avr 2007, 20:13

Merci,

ça je le sais , voyons voir q'il ny' a t il pas d'autres idée ?
si par exemple la question est démontrer que l'endo et nilpotent ?

par **Alpha** » 21 Avr 2007, 20:14

Salut,

ben, personnellement, ce que je sais sur les matrices nilpotentes, c'est qu'évidemment elles ne sont pas inversibles, que toute valeur propre d'un endomorphisme nilpotent est nulle, qu'un endomorphisme nilpotent non nul n'est pas diagonalisable, mais ça ce sont des trivialités, ensuite on peut connaître la décomposition D+N, décomposition de Dunford, où D est diagonale, N nilpotente, DN=ND, qui permet de calculer A^n... Il est aussi bon de savoir que si u est nilpotent d'indice de nilpotence p, pour tout x non nul, (x, u(x), ..., u^(p-1) (x)) est libre (c'est facile à montrer, par récurrence).

par **thedream01** » 21 Avr 2007, 20:14

Bonne question!!!

par **Alpha** » 21 Avr 2007, 20:15

Si tu démontres que toutes les valeurs propres de l'endomorphisme sont nulles, c'est bon...

par **Alpha** » 21 Avr 2007, 20:16

Sinon tu regardes ce que donnent les premières puissances.

par **sandrine_guillerme** » 21 Avr 2007, 20:21

très bien .. !

et puis aussi si le polynome caractéristique est de la forme X^n .. mais jusque là, c'est un peu trivial ..

la décomposition de Dunford est pas éviente quand même .. pour trouver les bon compostants quoi, mais n'hésitez pas de donner vos impressions à propos ,

je vous remercie tous ..

par **thedream01** » 21 Avr 2007, 20:25

il y a équivalence entre le fait que le polynome minimal soit de la forme X^p et que l'endomorphisme soit nilpotent d'ordre p???
ps:est-ce qu'il existe un algorithme pour calculer le polynome minimal?

par **fahr451** » 21 Avr 2007, 20:27

zont tout dit ou presque

il est bon aussi d'avoir en tête les noyaux itérés (valables pour un endo quelconque)

pour f nilpotente d'indice p on a

{0}Cker f^0 C ker f C kerf^2 ...C ker f^p = E les inclusions étant strictes

par **sandrine_guillerme** » 21 Avr 2007, 20:28

bonne question .. alors pour le polynome minimal c'est pas très dificile à calculer lorsqu'il s'agit des endomorphismes mais c'est un peu pénible lorsqu'iul s'agit des matrices,

conseil toujours se rappeler du théorème très très puissants de hamilton Cayley

par **sandrine_guillerme** » 21 Avr 2007, 20:30

fahr451 a écrit:zont tout dit ou presque

il est bon aussi d'avoir en tête les noyaux itérés (valables pour un endo quelconque)

pour f nilpotente d'indice p on a

{0}Cker f^0 C ker f C kerf^2 ...C ker f^p = E les inclusions étant strictes

euh il a posé la question à propos du polynome minimal,

quelle est la relation entre le polynome minimal et les sous espaces stables, les noyaux itérés ou les espaces caractéristiques .. ?

par **yos** » 21 Avr 2007, 21:23

Allez encore un :toute matrice non inversible est équivalente à une matrice nilpotente.

par **sandrine_guillerme** » 21 Avr 2007, 21:24

:doh:

je le connais pas du tout celui là,

une idée de la preuve stp?

par **yos** » 21 Avr 2007, 21:27

C'est une façon de dire qu'il y a des matrices nilpotentes de tout rang sauf n.

par **sandrine_guillerme** » 21 Avr 2007, 21:28

oki je vois,

et puis pour la trace ? est ce une CNS ? si elle est nulle je veux dire ..

par **nemesis** » 21 Avr 2007, 21:41

un autre classique :
montrer l'equivalence entre les deux propositions suivantes:
-A est nilpotente
-tr(A^k)=0

par **yos** » 21 Avr 2007, 21:41

Sandrine, essaie
01
10

par **sandrine_guillerme** » 21 Avr 2007, 22:23

oui yos en effet, merci pour le contre exemple ,

je vais regarder ton exo nemsis tout de suite .. !

par **sandrine_guillerme** » 21 Avr 2007, 22:40

nemesis a écrit:un autre classique :
montrer l'equivalence entre les deux propositions suivantes:
-A est nilpotente
-tr(A^k)=0

hum,

on peut poser une équation en fait , et puis l'exprimer en terme de determinant pour voir s'il y aurait dolution ou pas ..

mais bon çe me semble trop longue .. tu as une idée stp ?

Endomorphisme nilpotent.. !

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