Endomorphisme nilpotent de rang n-1

[ludovic]

Bonjour ! J'aurais besoin d'aide pour un exercice algèbre (niveau sup).
Voila l'énoncé:
"Soit un espace vectoriel réel de dimension finie , et un endormorphisme nilpotent de de rang .
Soit un sous-espace vectoriel de de dimension , stable par . On pose .
Prouver que pour tout i de , . Déterminer .

Caractériser les sous-espaces vectoriels de stables par avec les noyaux des endomorphismes ."

Pour la première partie, puisque l'on a déjà une inclusion, je pensais prouver que les dimensions sont égales, mais ça n'a pas abouti. Merci de vos réponses !

[Viko]

Salut,

ça a l'air faux ton truc puisque a priori est non vide contrairement à puisque donc je ne vois pas comment il peut y avoir égalité

[Ben314]

Salut,
Si, c'est juste et ça provient de l'hypothèse disant que est nilpotent de rang .
Donc tu sait que est de dimension et que est de dimension .
Tu en déduit facilement que, pour , est de dimension (*).
Donc ce qui signifie qu'il existe tel que et on vérifie aisément que est libre donc est une base de .
Et en raisonnant dans cette base, il est clair que les seuls s.e.v. stables pour sont les .

Par contre, je vois pas trop comment répondre simplement à la question 1) telle qu'elle est posée AVANT d'avoir tout démontré (donc en particulier avoir démontré le résultat demandé à la question 2).

(*) Pour un endomorphisme quelconque et un s.e.v. quelconque , on a
Donc ici,

[aviateur]

Bonjour
On peut travailler aussi matriciellement avec U matrice de u dans une base où les r premiers vecteurs
forment une base de F. Alors U a la forme par blocs

et V est la matrcie de v dans cette base de F.
Par hypothèse et pour tout j on a
est de la forme

Cela montre déjà que et donc
Par hypothèse Ker u est de dimension 1 et comme v est nilpotente on voit que Ker u est dans F.
Soit x (non nul) dont les coordonnées sont par blocs
si
alors et
Y est nécessairement nul (sinon le vecteur par blocs serait dans Ker u mais pas dans F (contradiction)
Donc et
Voilà cela répond directement à la première question mais je n'ai pas trop le temps de voir les détails mais l'idée est là

[Ben314]

...Par hypothèse et ...

Pour moi, justement, le problème, c'est que l'énoncé ne dit pas (directement) que .
Il dit uniquement que que et que est de rang (i.e. que est de dimension 1), et, perso., la seule façon que je vois d'en déduire qu'effectivement , c'est de "remonter" les noyaux comme je le fait dans le précédent post.
Sauf que ça "tue" quasiment l'exo. vu que tout devient presque trivial...

Toi, tu procède comment pour démontrer que ?

[Pseuda]

...

[aviateur]

Bonjour
De mon point de vue quand on parle d'endomorphisme nilpotent, je pense à sa matrice réduite de Jordan et alors la dimension du noyau correspond au nombre de blocs de Jordan. Autrement dit je n'ai pas besoin de démontrer que implique car c'est pour moi un résultat connu.
Maintenant s'il faut démontrer que c'est clair que l'on va se retrouver sur un schéma classique des chaines de Jordan.
La façon de répondre à la question dépend dc ici des connaissances sur lesquelles on se base.
De plus j'utilise ici le produit de matrice triangulaire supérieure par blocs et je ne sais pas si l'auteur de la question comprend ce que je fais. Néanmoins il peut toujours mettre cela de côté et essayer d'y revenir plus tard.

[Ben314]

A force, j'ai peut-être une preuve qui suit plus ou moins l'ordre des questions :

On prend donc un s.e.v. de E de dim. et (à la source et au but).

On a mais on ne peut pas avoir vu que sinon on aurait alors que .
Mais avec qui est de dimension 1 donc la seule possibilité est et .
Si on ne fait rien de plus, et si on recommence le même raisonnement : On a mais car sinon on aurait . Mais avec qui est de dimension au plus 2 (*) donc la seule possibilité est que soit de dimension exactement 2 et que .
etc...

(*) Dans le cas général d'une application linéaire (de dim. finies), si est un s.e.v de alors, en considérant la restriction de , on a :

[ludovic]

Merci beaucoup de toutes vos réponses ! On n'a pas encore bien vu les réductions d’endomorphisme, ni même les matrices d'applications linéaires, et je pense que cette dernière solution est celle qui est le plus à mon niveau. Merci beaucoup !