Endomorphisme nilpotent

[wah1138]

Bonjour, je n'arrive pas à terminer cet exercice :
Soient E un espace vectoriel de dim finie, f et g deux endomorphismes de E tq :
fog-gof=f
On se propose de démontrer que f est nilpotent.
1) Vérifier que pour tout k appartenant à N*, f^kog-gof^k=kf^k
2) Montrer que si Q(λ) est un polynôme annulateur de f, alors foQ'(f)=0
3) Déterminer le polynôme minimal de f. En déduire que f est nilpotent.

J'ai réussi les deux premières questions, mais je bloque à la troisième, auriez vous des pistes ?
Merci d'avance pour votre aide.

[Ben314]

Salut,
Si Q est le polynôme minimal de f alors c'est non seulement un polynôme annulateur de f, mais c'est en fait le "plus petit" dans le sens que les polynômes annulateurs de f sont très exactement les multiples de Q (c'est à dire Q multiplié par un polynôme quelconque).
Donc le fait (prouvé au 2.) que XQ'(X) est lui aussi un polynôme annulateur de f signifie que le polynôme XQ'(X) est divisible par Q(X) et c'est cette propriété "remarquable" qu'il faut étudier (soit en écrivant Q sous la forme de somme de a_i X^i et en regardant ce que donne la condition, soit avec un raisonnement plus subtil consistant à écrire que Q(X)=X^d.S(X) avec d maximal, c'est à dire avec S(0) non nul, soit encore en résolvant l'équation différentielle XQ'(X)=k.Q(X) avec k constante fixé)

[wah1138]

Merci Ben314 pour cette réponse, je vois qu'il y a pas mal de possibilités, en fait j'avais déjà écrit Q(X) sous forme de somme pour montrer la question 2, j'avais obtenu :



avec :

Donc pour toi c'est sur cette égalité que je dois raisonner pour identifier m(X) le polynôme minimal, mais j'ai du mal à y voir clair étant habitué à des recherches de polynômes minimaux dans des exos purement pratiques avec des polynômes caractéristiques bien définis.
A la base j'avais l'intuition que le monôme X^k faisait très bien l'affaire...

[Ben314]

Que tu préfère l'appeler m(X) au lieu de Q(X) ne change évidement rien à ce que je t'ai dit : ce que tu doit utiliser, c'est que le polynôme m(X) divise le polynôme X m'(X).
Et arrivé à ce point de l'exo., tu as plus rien à f... de l'endomorphisme f ici, (ni de l'endomorphisme m(f), ni du fait que m est le polynôme minimal de quelque chose). Ce que tu doit faire, c'est de trouver les polynômes vérifiant la condition bleu ci dessus.

[wah1138]

Alors peut-être que je suis à coté de la plaque, mais je dirais que ce sont tous les monômes unitaires, de degré 0 jusqu'à k.

[Ben314]

Alors peut-être que je suis à coté de la plaque, mais je dirais que ce sont tous les monômes unitaires, de degré 0 jusqu'à k.

Oui, c'est ça modulo que :
- Le de degré 0 jusqu'à k est dénué de sens vu qu'il n'y a pas de dans l'énoncé.
- Il faudrait prouver ce résultat et pas seulement le conjecturer. Surtout que de conjecturer que le polynôme minimal est de la forme avec , c'est évident vu la fin de la question "En déduire que f est nilpotent".

[wah1138]

Merci pour ton aide Ben314, c’est beaucoup plus clair maintenant