Endomorphisme induit

par **mehdi-128** » 16 Mai 2007, 22:23

Soit u un endomorphisme antisymétrique,notons v l'endomorphisme induit par u sur Im(u),montrer que v est bijectif.
En déduire que le rang de u est pair....

par **yos** » 17 Mai 2007, 08:13

Le noyau de v est

, donc...
La deuxième question utilise le résultat sur un endo antisymétrique en dimension impaire.

par **mehdi-128** » 17 Mai 2007, 08:57

Ca me donne que : ker(v) est l'intersection entre Im(u) et son orthogonal....

par **yos** » 17 Mai 2007, 09:03

C'est bon non? Noyau réduit à {0}, injectij, bijectif...

par **mehdi-128** » 17 Mai 2007, 09:42

oui exact en dimension finie.Merci.

par **mehdi-128** » 17 Mai 2007, 09:51

Par contre pour montrer que le rang de u est pair je sais pas trop....

par **yos** » 17 Mai 2007, 10:05

v est lui aussi antisymétrique, de plus il est bijectif, or on a vu qu'un endomorphisme antisymétrique d'un espace de dimension impaire est pas bijectif.
Ca prouve bien que l'espace de départ de v est de dimension paire.

par **mehdi-128** » 17 Mai 2007, 10:20

Ah ok merci,je pensais ca mais j'étais pas sur que ca marche aussi pour v.

par **yos** » 17 Mai 2007, 10:29

L'antisymétrie peut se caractériser par (u(x)|x)=0 pour tout x de E. Puis v est la restriction de u à un sous-espace, ça marche encore pour v.

par **mehdi-128** » 17 Mai 2007, 10:52

Soit u un endomorphisme antisymétrique ,montrer qu'il existe un entier naturel p et p réels a1,...........,ap strictements positifs tel que le polynome caractéristique de u soit:

(-1)^n *X^(n-2p)(X^2+a1)*.........*(X^2+ap)

Je vois pas trop comment commencer....

par **yos** » 17 Mai 2007, 11:29

Note

les racines complexes non nulles du polynôme caractéristique. On a prouvé que ce sont des imaginaires purs.

par **mehdi-128** » 17 Mai 2007, 11:38

ok je vais essayer merci.

par **mehdi-128** » 17 Mai 2007, 11:43

Oui mais ils veulent que les a1,...........,ap soient p réels ,alors que l'on sait que les racines sont des imaginaires purs .J'ai pas tout saisi.....

par **yos** » 17 Mai 2007, 11:59

par **mehdi-128** » 17 Mai 2007, 12:21

oui je vois mais je ne comprends pas pourquoi les conjugués des ki sont aussi racines du polynome caractéristique.....

par **yos** » 17 Mai 2007, 12:28

On a déjà parlé de ça : X vecteur propre de A pour la vp k entraîne

est vecteur propre de

pour la valeur propre

(suffit de l'écrire). Mais A est une matrice réelle, donc

.

par **mehdi-128** » 17 Mai 2007, 12:45

Ok merci ,j'ai bien compris.

Endomorphisme induit

endomorphisme induit

Polynome caractéristique

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