Endomorphisme induit

[Jérome75]

Bonsoir.

"Soient u1 et u2 deux symétries d'un ev E tel que Ker(u1-IdE)=Ker(u2-IdE). On pose v=u2 o u1 -IdE
Montrer que v induit sur Ker(u1-IdE) un endomorphisme à déterminer. "

J'ai déjà montré que v²=0, que v=u1-u2, mais pour trouver l'endorphisme induit par v, je vois pas du tout comment faut procéder/ce que je cherche...Je suis un peu en galère

Help!!!

[hdci]

Bonjour,

Si je comprends bien l'énoncé, et il s'agit de montrer que la restriction de à est un endomorphisme.

Autrement dit il faut montrer que


Sachant que , que vaut ?
Par suite, que vaut ?
Sachant que , que vaut précisément pour ?

[pascal16]

en géométrie classique
symétries d'un ev E tel que Ker(u1-IdE)=Ker(u2-IdE)
Ker(u1-IdE) : est l’ensemble des points fixes ie l'axe de symétrie
ie : tu joues avec des symétries de même axe (et je ne vois pas pourquoi on se limite à Ker(u1-IdE), le résultat me semble vrai sur E entier)

[Pseuda]

Bonjour,

Il faut supposer que c'est v = (u2 o u1) - IdE. Car si c'est v = u2 o (u1 - Ide), sur Ker(u1-Ide), l'endomorphisme induit de (u-Ide) = 0, donc v=0.

[Pseuda]

"Soient u1 et u2 deux symétries d'un ev E tel que Ker(u1-IdE)=Ker(u2-IdE). On pose v=u2 o u1 -IdE
Montrer que v induit sur Ker(u1-IdE) un endomorphisme à déterminer. "

Littéralement, cela veut dire qu'il faut montrer :

.

On prend son stylo et on écrit :

si en suivant les indications de hdci.

De manière géométrique, pour une symétrie , est l'ensemble de ses éléments invariants (c'est une symétrie par rapport à ). Sur ce noyau, l'endomorphisme induit (il laisse les vecteurs invariants). Dès lors, il est normal que .

Par contre, c'est faux si on n'est pas sur .

[pascal16]

en effet les directions des symétries peuvent être différentes, c'est vrai pour deux symétries orthogonales mais pas pour toutes.

[Pseuda]

Oui, si les symétries sont orthogonales, alors elles sont égales, et comme les symétries sont involutives, ... c'est vrai.

[Jérome75]

J'ai trouvé! Une fois que l'on sait ce que l'on cherche a démontrer, c'est plus simple ^^. Merci beaucoup .

[Kolis]

Bonjour,

Il faut supposer que c'est v = (u2 o u1) - IdE. Car si c'est v = u2 o (u1 - Ide), sur Ker(u1-Ide), l'endomorphisme induit de (u-Ide) = 0, donc v=0.

Je ne comprends pas pourquoi "il faut supposer..." car quelle que soit l'écriture je pense que la restriction est l'application linéaire nulle :
Soit .
Alors .

Quant à savoir que ce sont des symétries, quelle importance pour cette question ?
Mais il y a sans doute d'autres questions dans l'exercice.

[Pseuda]

Je ne comprends pas pourquoi "il faut supposer..."

Bonjour,

Il y a une interprétation de l'énoncé qui donne une solution plus triviale que l'autre. Mais c'est vrai que les deux aboutissent au même résultat !