Endomorphisme induit
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 17 Mai 2007, 00:23
Soit u un endomorphisme antisymétrique,notons v l'endomorphisme induit par u sur Im(u),montrer que v est bijectif.
En déduire que le rang de u est pair....
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yos
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par yos » 17 Mai 2007, 10:13
Le noyau de v est
, donc...
La deuxième question utilise le résultat sur un endo antisymétrique en dimension impaire.
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 17 Mai 2007, 10:57
Ca me donne que : ker(v) est l'intersection entre Im(u) et son orthogonal....
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yos
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par yos » 17 Mai 2007, 11:03
C'est bon non? Noyau réduit à {0}, injectij, bijectif...
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 17 Mai 2007, 11:42
oui exact en dimension finie.Merci.
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 17 Mai 2007, 11:51
Par contre pour montrer que le rang de u est pair je sais pas trop....
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yos
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par yos » 17 Mai 2007, 12:05
v est lui aussi antisymétrique, de plus il est bijectif, or on a vu qu'un endomorphisme antisymétrique d'un espace de dimension impaire est pas bijectif.
Ca prouve bien que l'espace de départ de v est de dimension paire.
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par mehdi-128 » 17 Mai 2007, 12:20
Ah ok merci,je pensais ca mais j'étais pas sur que ca marche aussi pour v.
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par yos » 17 Mai 2007, 12:29
L'antisymétrie peut se caractériser par (u(x)|x)=0 pour tout x de E. Puis v est la restriction de u à un sous-espace, ça marche encore pour v.
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par mehdi-128 » 17 Mai 2007, 12:52
Soit u un endomorphisme antisymétrique ,montrer qu'il existe un entier naturel p et p réels a1,...........,ap strictements positifs tel que le polynome caractéristique de u soit:
(-1)^n *X^(n-2p)(X^2+a1)*.........*(X^2+ap)
Je vois pas trop comment commencer....
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par yos » 17 Mai 2007, 13:29
Note
les racines complexes non nulles du polynôme caractéristique. On a prouvé que ce sont des imaginaires purs.
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par mehdi-128 » 17 Mai 2007, 13:38
ok je vais essayer merci.
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par mehdi-128 » 17 Mai 2007, 13:43
Oui mais ils veulent que les a1,...........,ap soient p réels ,alors que l'on sait que les racines sont des imaginaires purs .J'ai pas tout saisi.....
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yos
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par yos » 17 Mai 2007, 13:59
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par mehdi-128 » 17 Mai 2007, 14:21
oui je vois mais je ne comprends pas pourquoi les conjugués des ki sont aussi racines du polynome caractéristique.....
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par yos » 17 Mai 2007, 14:28
On a déjà parlé de ça : X vecteur propre de A pour la vp k entraîne
est vecteur propre de
pour la valeur propre
(suffit de l'écrire). Mais A est une matrice réelle, donc
.
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 17 Mai 2007, 14:45
Ok merci ,j'ai bien compris.
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