Endomorphisme induit

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mehdi-128
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endomorphisme induit

par mehdi-128 » 17 Mai 2007, 00:23

Soit u un endomorphisme antisymétrique,notons v l'endomorphisme induit par u sur Im(u),montrer que v est bijectif.
En déduire que le rang de u est pair....



yos
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par yos » 17 Mai 2007, 10:13

Le noyau de v est , donc...
La deuxième question utilise le résultat sur un endo antisymétrique en dimension impaire.

mehdi-128
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par mehdi-128 » 17 Mai 2007, 10:57

Ca me donne que : ker(v) est l'intersection entre Im(u) et son orthogonal....

yos
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par yos » 17 Mai 2007, 11:03

C'est bon non? Noyau réduit à {0}, injectij, bijectif...

mehdi-128
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par mehdi-128 » 17 Mai 2007, 11:42

oui exact en dimension finie.Merci.

mehdi-128
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par mehdi-128 » 17 Mai 2007, 11:51

Par contre pour montrer que le rang de u est pair je sais pas trop....

yos
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par yos » 17 Mai 2007, 12:05

v est lui aussi antisymétrique, de plus il est bijectif, or on a vu qu'un endomorphisme antisymétrique d'un espace de dimension impaire est pas bijectif.
Ca prouve bien que l'espace de départ de v est de dimension paire.

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par mehdi-128 » 17 Mai 2007, 12:20

Ah ok merci,je pensais ca mais j'étais pas sur que ca marche aussi pour v.

yos
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par yos » 17 Mai 2007, 12:29

L'antisymétrie peut se caractériser par (u(x)|x)=0 pour tout x de E. Puis v est la restriction de u à un sous-espace, ça marche encore pour v.

mehdi-128
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Polynome caractéristique

par mehdi-128 » 17 Mai 2007, 12:52

Soit u un endomorphisme antisymétrique ,montrer qu'il existe un entier naturel p et p réels a1,...........,ap strictements positifs tel que le polynome caractéristique de u soit:

(-1)^n *X^(n-2p)(X^2+a1)*.........*(X^2+ap)

Je vois pas trop comment commencer....

yos
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par yos » 17 Mai 2007, 13:29

Note les racines complexes non nulles du polynôme caractéristique. On a prouvé que ce sont des imaginaires purs.

mehdi-128
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par mehdi-128 » 17 Mai 2007, 13:38

ok je vais essayer merci.

mehdi-128
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par mehdi-128 » 17 Mai 2007, 13:43

Oui mais ils veulent que les a1,...........,ap soient p réels ,alors que l'on sait que les racines sont des imaginaires purs .J'ai pas tout saisi.....

yos
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par yos » 17 Mai 2007, 13:59


mehdi-128
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par mehdi-128 » 17 Mai 2007, 14:21

oui je vois mais je ne comprends pas pourquoi les conjugués des ki sont aussi racines du polynome caractéristique.....

yos
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par yos » 17 Mai 2007, 14:28

On a déjà parlé de ça : X vecteur propre de A pour la vp k entraîne est vecteur propre de pour la valeur propre (suffit de l'écrire). Mais A est une matrice réelle, donc .

mehdi-128
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par mehdi-128 » 17 Mai 2007, 14:45

Ok merci ,j'ai bien compris.

 

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