Endomorphisme induit

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Jérome75
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Endomorphisme induit

par Jérome75 » 12 Sep 2018, 00:36

Bonsoir.

"Soient u1 et u2 deux symétries d'un ev E tel que Ker(u1-IdE)=Ker(u2-IdE). On pose v=u2 o u1 -IdE
Montrer que v induit sur Ker(u1-IdE) un endomorphisme à déterminer. "

J'ai déjà montré que v²=0, que v=u1-u2, mais pour trouver l'endorphisme induit par v, je vois pas du tout comment faut procéder/ce que je cherche...Je suis un peu en galère :/

Help!!!



hdci
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Re: Endomorphisme induit

par hdci » 12 Sep 2018, 09:16

Bonjour,

Si je comprends bien l'énoncé, et il s'agit de montrer que la restriction de à est un endomorphisme.

Autrement dit il faut montrer que


Sachant que , que vaut ?
Par suite, que vaut ?
Sachant que , que vaut précisément pour ?
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

pascal16
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Re: Endomorphisme induit

par pascal16 » 12 Sep 2018, 09:29

en géométrie classique
symétries d'un ev E tel que Ker(u1-IdE)=Ker(u2-IdE)
Ker(u1-IdE) : est l’ensemble des points fixes ie l'axe de symétrie
ie : tu joues avec des symétries de même axe (et je ne vois pas pourquoi on se limite à Ker(u1-IdE), le résultat me semble vrai sur E entier)

Pseuda
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Re: Endomorphisme induit

par Pseuda » 12 Sep 2018, 09:38

Bonjour,

Il faut supposer que c'est v = (u2 o u1) - IdE. Car si c'est v = u2 o (u1 - Ide), sur Ker(u1-Ide), l'endomorphisme induit de (u-Ide) = 0, donc v=0.

Pseuda
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Re: Endomorphisme induit

par Pseuda » 12 Sep 2018, 09:58

Jérome75 a écrit:"Soient u1 et u2 deux symétries d'un ev E tel que Ker(u1-IdE)=Ker(u2-IdE). On pose v=u2 o u1 -IdE
Montrer que v induit sur Ker(u1-IdE) un endomorphisme à déterminer. "

Littéralement, cela veut dire qu'il faut montrer :

.

On prend son stylo et on écrit :

si en suivant les indications de hdci.

De manière géométrique, pour une symétrie , est l'ensemble de ses éléments invariants (c'est une symétrie par rapport à ). Sur ce noyau, l'endomorphisme induit (il laisse les vecteurs invariants). Dès lors, il est normal que .

Par contre, c'est faux si on n'est pas sur .

pascal16
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Re: Endomorphisme induit

par pascal16 » 12 Sep 2018, 10:36

en effet les directions des symétries peuvent être différentes, c'est vrai pour deux symétries orthogonales mais pas pour toutes.

Pseuda
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Re: Endomorphisme induit

par Pseuda » 12 Sep 2018, 10:39

Oui, si les symétries sont orthogonales, alors elles sont égales, et comme les symétries sont involutives, ... c'est vrai.

Jérome75
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Re: Endomorphisme induit

par Jérome75 » 12 Sep 2018, 23:01

J'ai trouvé! Une fois que l'on sait ce que l'on cherche a démontrer, c'est plus simple ^^. Merci beaucoup :).

Kolis
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Re: Endomorphisme induit

par Kolis » 13 Sep 2018, 08:44

Pseuda a écrit:Bonjour,

Il faut supposer que c'est v = (u2 o u1) - IdE. Car si c'est v = u2 o (u1 - Ide), sur Ker(u1-Ide), l'endomorphisme induit de (u-Ide) = 0, donc v=0.

Je ne comprends pas pourquoi "il faut supposer..." car quelle que soit l'écriture je pense que la restriction est l'application linéaire nulle :
Soit .
Alors .

Quant à savoir que ce sont des symétries, quelle importance pour cette question ?
Mais il y a sans doute d'autres questions dans l'exercice.

Pseuda
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Re: Endomorphisme induit

par Pseuda » 13 Sep 2018, 13:57

Kolis a écrit:Je ne comprends pas pourquoi "il faut supposer..."

Bonjour,

Il y a une interprétation de l'énoncé qui donne une solution plus triviale que l'autre. Mais c'est vrai que les deux aboutissent au même résultat !

 

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