Ellipse de Steiner

[MacManus]

Bonsoir,

Quelqu'un adepte de la géométrie pourrait-il m'aider dans cet exercice ? Je n'ai pas bien compris la démonstration en cours de ce théorème (qui utilise la permutation des poids des barycentres..) (nous n'avons pas fait d'exercice d'application en cours non plus).

On considère un triangle ABC et on déflnit 6 points comme barycentres de ces points affectés des coefficients:
(1 , 2 , 3) ; (7 , 3 , 2) ; (2 , I , 3) ; (2 , 3 , 7) ; (3 , 1 , 2) ; (3 , 2 , 1)

1. Faire une figure précise pour ces valeurs en plaçant ces 6 points.
2. Montrer que ces 6 points se trouvent sur une même ellipse, donner son centre.
3. Montrer qu'il existe une ellipse passant par les milieux des côtés du triangle ABC qui soit tangente aux côtés en ces milieux.

Je vous remercie.

[mathelot]

a tout hasard, les points ne seraient pas les images par une affinité
de points cocycliques ?

[nuage]

Salut,
pour la question 3 on peut partir d'un triangle équilatéral et voir son image par une transformation affine.
Cette transformation étant linéaire, elle conserve les milieux et les tangentes.
De plus on démontre aisément que l'image d'une ellipse (d'un cercle) est une ellipse.
Ce qui permet de conclure.

[MacManus]

Merci pour vos réponses. Oui mathelot tu as surement raison cela me rappelle quelque chose. Je vais regarder cela d'un peu plus près. Merci nuage pour ces précisions je comprends mieux la situation à présent..

[MacManus]

On considère un triangle ABC et on définit 6 points comme barycentres de ces points affectés des coefficients:
(1 , 2 , 3) ; (7 , 3 , 2) ; (2 , I , 3) ; (2 , 3 , 7) ; (3 , 1 , 2) ; (3 , 2 , 1)

Je me suis trompé pour les coefficients, il s'agit bien d'affecter aux points A,B et C les coefficients :
(1 , 2 , 3) ; (1 , 3 , 2) ; (2 , 1 , 3) ; (2 , 3 , 1) ; (3 , 1 , 2) ; (3 , 2 , 1)

Question 1.

comment placer les barycentres en fonction du triange ABC selon les coefficients ?
je ne sais plus très bien...

On a bien les barycentres suivants :








Question 2.

N'ayant pas placer les 6 points, je conjecture seulement que :
Les 6 barycentres sont donc sur une même ellipse
Donc ces 6 barycentres sont effectivement "les images par une affinité de points cocycliques", comme tu l'as indiqué mathelot

Les ellipses sont toutes homothétiques et ont même centre (isobarycentre), car image par une même application affine de cercles concentriques.

Question 3. réponse de nuage
juste une chose : tu dis que la transformation est linéaire. Tu parles en réalité de la partie linéaire de l'application affine (par définition en fait...?) car si f est affine en effet elle préserve les barycentres, les "milieux", les "tangentes" comme tu dis.

Merci de votre aide!