Construction d'une ellipse inscrite dans un quadrilatère

[Ben314]

Bonjour,
Je pense qu'il y a toujours plusieurs éllipses :
Regarde sur un carré, il est assez clair que tu peut prendre comme foyer tout point d'une des deux diagonales...

Par contre je ne vois pas comment tu as obtenu "facilement" les points de contact (qui, dans le cas du carré ne sont pas uniques...)

[Ben314]

D'accord, mais alors, pourquoi ne prend tu pas un cinquième point quelconque du cercle (dans le carré) et ne regarde tu pas son image par l'homographie ?

Remarque : tu ne cherche donc pas TOUTES les élipses tangentes à ton quadrilatère mais bien une élipse particulière...

[Ben314]

Il me semble que c'est clair (qu'il y ait plusieurs élipse) pour le carré et comme tout quadrilatère non dégénéré est l'image d'un carré par une homographie et que les homographies envoient conique sur conique.....
(je pense que si le quadrilatère est "croisé" on risque d'avoir une hyperbole).

Pour le 5em point, je n'ai pas trop réfléchi. Le premier qui vient à l'esprit est de prendre l'intersection du cercle avec une diagonale mais je ne voit pas immédiatement comment construire son image par l'homographie sans beaucoup de traits de constructions.

Peut être faut il moins de traits en partant du point (3/5 ; 4/5) du cercle trigo, ce qui revient à couper en 10 (au sens projectif) les cotés du quadrilatère.

[Ben314]

Oui, j'en ait une :



J'ai "triché" en utilisant un logitiel de géométrie (KIG sous linux) qui sait "direct" tracer l'image d'objects par des homographies et je suis parti d'un carré...

Je te confirme que l'on peut choisir un point quelconque d'un des cotés (distinct d'un sommet) et qu'il passe une unique élipse tangente aux 4 cotés par ce point là.
On peut même prendre le point sur la droite complète -> on obtient une hyperbole (on obtient aussi des hyperboles lorsque le quadrilatère est non convexe ou "croisé).
Je n'ai pas regardé le cas des paraboles...

[Ben314]

Et l'original avec le carré?

Ben... jl'ai effacée m'dame, quand j'triche, j'veux pas qu'ca se voit !!!!

Pour le tracé de l'élipse avec ton logitiel qui ne sait faire que des élipse avec 5 points, j'ai bien peur qu'il n'y ait pas trop guère le choix....
En réfléchissant un peu, je me demande si la solution la plus simple n'est quand même pas de "tricher" en tracant à coté de la figure un segment (correspondant à la diagonale du carré) avec 4 points : les deux extrémitées, le milieu et le point corespondant à l'intersection du cercle inscrit dans le carré avec la diagonale puis de faire la bonne homographie pour balancer les 4 points sur la diagonale de ton quadrilatère avec les trois que tu connait déjà (je sais pas si je suis trés clair)

Si tu as fait un peu de geo.proj, tu a du voir commment construire le 4 em point "conservant le biraport"...

L'autre solution que je voyait était de couper en 10 (au sens projectif) les bords du quadrilatère et de prendre le point correspondant à (3/5,4/5) dans le cercle trigo inscrit dans le carré [-1,1]x[-1,1], mais je pense que c'est plus long...