Ellipse à partir de 4 points

par **cipango** » 31 Mai 2006, 22:05

Bonsoir à tous,

J'aimerais obtenir l'équation d'une ellipse à partir des coordonnées de 4 points qui passent par cette ellipse.
Connaitre le grand axe, le petit axe, les coordonnées du cenntre de manière à pouvoir tracer cette ellipse sur un ordinateur.
Bien sûr cette ellipse n'est pas nécessairement centrée et surtout, ses axes ne sont pas nécessairement parallèles aux axes du repère...
Je pensais à une méthode numérique avec le solveur d'Excel par exemple ou faire une macro...
???

PS: Je ne connais pas l'équation d'une ellipse dont les axes ne sont pas parallèles aux axes du repère.
Si les axes sont parallèles au repère, on peut par exemple utiliser les équations parametriques :
x = a cos t + h
y = b sin t + k
Et sinon ???

Merci d'avance pour vos propositions.

par **daiski** » 31 Mai 2006, 22:29

tu peux te servir de l'équation d'une ellipse oblique en coordonnées polaires :

r = p/(1 + e cos(teta - teta0))

e= c/a où c = sqrt ( a^2- b^2)
p = b^2/a
e<1

par **cipango** » 31 Mai 2006, 22:34

Merci Daiski
Je vais refléchir au problème avec les polaires.
Sinon, en cartésienne, y-a-t-il une équation pas trop compliquée ?
Et pour mon problème, trouver l'ellipse qui passe par 4 points, tu n'as pas une petite idée?

par **abcd22** » 31 Mai 2006, 22:48

Bonsoir !
On ne connaît que 4 points et on ne sait rien d'autre sur l'ellipse ? (Et on est sûr qu'il y a une ellipse qui passe par ces points ?) Parce qu'il y a un théorème qui dit « Par 5 points distincts du plan tels qu'aucune droite ne contienne 4 d'entre eux, il passe une unique conique », mais si tu prends 4 points du plan tu peux avoir une infinité d'ellipses qui passent par ces 4 points. Par exemple avec (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1), si tu choisis a et b positifs tels que

, l'ellipse d'équation

passe par les 4 points, et il y a une infinité de couples (a,b) qui conviennent.

L'équation générale d'une ellipse est

avec

, ça fait 6 coefficients, si on a 5 points en écrivant qu'ils sont solutions on a un système linéaire de 5 équations à 6 inconnues a,b,c,d,e,f, en le résolvant on trouve une infinité de solutions mais elles définissent toutes (sauf la solution nulle bien sûr) la même ellipse (enfin elles définissent une conique, mais si on sait que les 5 points sont sur une ellipse cette conique sera une ellipse) car elles sont toutes proportionnelles.
Avec 4 points tu peux écrire le système aussi mais tu auras une infinité de coniques différentes. Si tu veux juste une solution tu peux en choisir une au hasard (il faut vérifier que c'est bien une ellipse (

), parce qu'on peut aussi trouver des hyperboles ou des paraboles avec cette méthode).

par **daiski** » 31 Mai 2006, 22:57

en fait on montre que dans un repère quelconque , l'équation cartésienne de la conique est de la forme :

ax^2 + 2bxy + cy^2 + 2dx + 2ey+ f =0
on effectueune rotation du repère.
et suite à - justement - cette rotation d'angle teta0 = 1/2arctan(2b/a-c) qui dérange :on élimine le terme xy : il reste :

a'x^2 + c'y^2 + 2d'x + e'y + f' =0 qui est déjà plus simple.

finalement en prenant pour nouvelle originee le point O(-d'/a',-e'/c') on obtient une équation familièr :
a'x^2 + c'y^2 + f''= 0

si a'f''< 0alors c'est une ellipse.

dsl c'est trop de calculs ..

par **Pythales** » 31 Mai 2006, 23:02

A une constante multiplicative près, l'équation d'une conique dépend de 5 coefficients, donc nécessite 5 équations. Si on s'impose la condition sur

il reste 4 équations. Si on se donne 4 points, on peut donc déterminer les 5 coefficients. Par 4 points, il passe donc une ellipse et une seule.

par **Quidam** » 31 Mai 2006, 23:09

Bonjour,

Partant de l'équation de l'ellipse dans un repère défini pas des axes parallèles à ses axes de symétrie,

on peut trouver la forme qu'elle aura dans un autre repère défini par les nouvelles coordonnées X et Y par :

En remplaçant x et y par leurs expressions en fonction de X et Y, on peut voir quelle sera la forme générale de l'équation en X et Y :

Malheureusement, c'est aussi la forme générale de l'équation des autres coniques (hyperboles et paraboles). Pour n'avoir pas travaillé sur ces équations, je ne peux t'en dire plus, mais je pense qu'il existe des théories simples sur ce sujet. Tu devrais aller voir sur Wikipédia.

Cela dit, il y a six inconnues : a,b,c,d,e,f, définies certes à un facteur près, mais, a priori, il me semble qu'il faut cinq contraintes pour déterminer cinq inconnues...Peut-être même, en imposant des directions quelconques aux axes (orthogonales entre elles bien sûr), pourrait-on trouver une conique passant par tes quatre points... Ou alors, il faut cinq points et non quatre.

Sous réserve quand même !

par **cipango** » 31 Mai 2006, 23:17

Pas mal les réponses ! Ca avance ! Merci à tous !
En fait, s'il faut 5 points, ça n'est pas grave car ce sont des mesures expérimentales ( c'est de la physique... ), il suffit donc d'en faire une de plus. Et on sait que le modèle mathématique qui correspond à ces mesures est une ellipse.

par **Pythales** » 01 Juin 2006, 11:59

Au temps pour moi, la condition sur

n'est pas une équation, mais une inéquation. Il faut bien 5 points ...

par **cipango** » 03 Juin 2006, 17:06

Bonjour à tous,
Me revoilà avec mon ellipse...
J'ai pris l'équation cartésienne a x2 + b y2 + c xy + d x + e y + f = 0
que j'ai transformé en divisant tout par f en :
a x2 + b y2 + c xy + d x + e y = -1
J'ai entré les 5 équations obtenues en remplacant x et y des 5 points dans une matrice d'Excel, j'ai ensuite demandé le calcul de la matrice inverse A-1 puis j'ai obtenu les coefficients a b c d et e en multipliant A-1 par (-1,-1,-1,-1,-1)
Bref, méthode classique de résolution de système d'équations dans Excel, je crois.
Dans Excel, comment obtenir facilement le tracé de la parabole à partir de ces coefficients a b c d et e ?
Peut-on obtenir le petit et le grand axe à partir des coeff ?
Merci d'avance.

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