Surface d'une ellipse en un point donné

[mathelot]

re,

on passe par l'arc double en utilisant


on pose



d'où



Le périmètre mouillé devient:






on développe la fonction en série de Taylor:

développement de Taylor

avec

On va commencer à intégrer ça. combien de termes faut-il pour avoir une précision sous le cm ?
n=2, soient trois termes donnent une précision inférieure à 2cm, ce qui est bien pour un périmètre (mouillé) d'égout.
On intégre donc les trois premiers termes.

[mathelot]

D'où le périmètre mouillé, fonction , de l'angle au centre :



avec



angle au centre de l'ellipse variant entre et

[le calcul est juste, l'explication fausse. l'angle qui intervient dans l'intégrale
est un angle au centre du cercle.]
précision inférieure à 2cm selon les données initiales.

[pinpin]

Re. Je suis revenu de mon intervention sur site et tout fonctionne à merveille en utilisant ma formule initiale (du 23/06/2008, 11h41)

x=ACOS((a/2)-n)/(a/2))*2

surface =0.5*(b/2)*(a/2)*(x-SIN(x))

a étant la hauteur (1.80m) de mon ellipse, b (2.50m) la largeur, et n le niveau d'eau en tant que variable.

La précision est de loin meilleure que ce que me donne mon couteux débitmètre devenu presque inutile hormis qu'il me renvoie la mesure de vitesse dont j'ai besoin pour déterminer le débit dans mon programme automate.

Les résultats sont parfaitement corrélés avec mes abbaques calculées sur autocad. Je n'ai pas vu d'erreurs, le calcul de surface d'autocad est peut être faux cela dit.

Fichier excel sur http://125CBRevolution.free.fr/calcellipse.xls

Mathelot je viens de lire tes réponses suite à mon dernier message et je vais la semaine prochaine intégrer tes formules qui sont certainement plus précises que les miennes.

Pour répondre à ta question sur les automates (20h04) j'utilise le plus souvent des bestiaux de chez schneider (anciennement télémécanique) et celui que je programme actuellement est un TSX37 qui, outre les opérations de base, est capable d'intégrer une bonne partie de ce qu'on peut faire sur excel, des log. néperien pour intégrer une formule de manning par exemple.
Le langage, ou du moins l'interface de programmation se fait au travers d'un soft qui permet d'écrire en instruction list (ça ressemble à du basic très basique :hein: ), en ladder (langage à contact type schéma électrique) ou en littéral (une sorte d'ébauche du VB) avec une résolution max de 32 bits.

Ainsi je "fabrique" mes propres débitmètres pour palier à la haute imprécision des appareils de mesure qui intègrent des fonctions de calculs empiriques et qui nécessitent des chaines de report des informations haute résolution ou des bus de communication couteux voire pas toujours réalisables matériellement parlant.


Bravo pour ton travail de recherche, le problème de 4nto est un sujet qui m'intéresse car un jour j'aurai certainement besoin de faire une manning sur une ellipse (tout en espérant que ça n'arrivera pas :marteau: )

[Anonyme]

Merci pour tous ces calculs, je vais essayer la formule demain et je te tiens au courant pour la précision < 2 cm.

[mathelot]

je vais la semaine prochaine intégrer tes formules qui sont certainement plus précises que les miennes.

Bjr Pinpin,
que des bonnes nouvelles ! un détail qui me tenait à coeur: fais tu le distinguo entre l'angle et l'angle ?

je te tiens au courant pour la précision < 2 cm.

Il y a un souçi: le développement à l'ordre 2 de l'intégrande, comme je l'ai écrit, donne une incertitude d'environ 5 cm sur le périmètre total du tuyau.
Mais pousser à un ordre de plus est trop coûteux. Je vais essayer de développer directement



sans passer par l'arc double .

Il y a un truc amusant: développer le périmètre total en série entière de l'excentricité , les coefficients, hors cette variable , se calculent par des intégrales de Wallis de cosinus.

[mathelot]

Bjr,

intuitif: il y a possibilité d'unifier l'hydraulique, en particulier la tuyauterie, et l'électricité ??(résistance,différence de potentiel ,intensité, loi d'Ohm, lois de Kirchoff) en une unique théorie, c'est tout simple, on prend les formules d'hydraulique une par une, loi de Chézy,loi de Bazin,etc.. et l'on établit des correspondances avec les formules électriques. Est-ce que vous pourriez indiquer des formules d'hydraulique et de tuyauterie, pour voir s'il y a des similitudes, on les réécrira sous forme électrique. :zen:

[Anonyme]

Bonjour,

De retour de vacances je me replonge dans le problème du calcul du périmètre mouillé (Pm) d’une ellipse en fonction de la hauteur d’eau dans l’ouvrage (n).
C’est dur de s’y remettre !

Rappel de la forme de l’ellipse
hauteur h = 2a = 1,30 m
largeur l = 2b = 0,80 m

Mesure obtenu avec Autocad
n (m)...Pm (m)...Sm (m²)
0,05...0,328...0,010
0,10...0,484...0,029
0,15...0,615...0,052
0,20...0,735...0,079
0,25...0,848...0,110
0,30...0,957...0,142
0,35...1,064...0,177
0,40...1,168...0,213
0,45...1,270...0,250
0,50...1,372...0,289
0,55...1,472...0,328
0,60...1,573...0,368
0,65...1,673...0,408
0,70...1,773...0,447
0,75...1,873...0,487
0,80...1,974...0,526
0,85...2,075...0,565
0,90...2,178...0,602
0,95...2,282...0,638
1,00...2,388...0,673
1,05...2,497...0,705
1,10...2,610...0,735
1,15...2,730...0,763
1,20...2,862...0,786
1,25...3,017...0,804
1,30...3,346...0,817

Pour le calcul de la surface mouillée (Sm) j’obtiens les mêmes résultats avec la formule de Mathelot et celle de Pinpin avec une bonne précision (<1% par rapport aux mesures obtenues avec Autocad).

Sm = a*b*(ACOS(1-(n/a))-(1/a)*(1-(n/a))*(n*(2*a-n))^0,5)
Sm = 0,5*a*b*(x-SIN(x)) avec x = 2*ACOS(1-(n/a))

Par contre pour le calcul du périmètre mouillé (Pm) avec la formule de Mathelot, j’obtiens des différences de plus de 2,5 cm et la forme de la courbe ne correspond pas à celle du Pm mesuré avec Autocad.

Pm = ((a^2+b)/2)^0,5*(;)-(k/2)*SIN(;))-((k^2)/16)*(;)+SIN(;))*COS(;))))
Avec k = (a^2-b^2)/(a^2+b^2) et ;) l’angle au centre de l'ellipse variant entre 0 et Pi.

J’ai bien essayé de calculer le Pm avec a, b et n mais je ne suis pas très fort en trigo même si la forme de la courbe s’apparente plus aux mesures d’Autocad, mais les écarts sont encore trop importants (plus de 2cm).
Pm = 2*(a*b)^0,5*ACOS((a-n)/a)
Donc pour l’instant j’utilise sous Excel une polynomial calculée à partir des mesures obtenues avec Autocad.

Est-il possible d’avoir une autre formule du Pm plus précise, merci d’avance.


Autre chose : la relation entre les 2 angles n’est pas vraie dans mon cas.
h/2*COS(;)/2) ;) l/2*COS(;)/2)
a*COS(;)/2) ;) b*COS(;)/2)
avec ;) l’angle au centre du cercle (rayon = a) variant entre 0 et Pi.

Est-il possible d’avoir le calcul de l’angle ;) avec a, b et n comme pour le calcul de ;).
;) = 2*ACOS(1-(n/a))

Merci d’avance.

[mathelot]

salut,

la formule suivante semble définitivement validée :happy2: :

Sm = a*b*(ACOS(1-(n/a))-(1/a)*(1-(n/a))*(n*(2*a-n))^0,5) (1)

ok, est l'angle au centre.

Est-il possible d’avoir une autre formule du Pm plus précise, merci d’avance.

formule exacte:


avec demi-angle au centre sur le grand cercle de rayon a.
[là, l'explication est juste.]


je refais le raisonnement, j'ai tout oublié. on passe à l'arc double:

avec

on développe l'intégrande en série à l'ordre 4:



avec . on linéarise, on intégre.





d'où




avec et

là, on doit être rendu sous le centimètre.

[mathelot]

Dans le grand cercle de rayon a:




Par contre, sur le bord droit de l'ellipse, tant que le niveau d'eau ne dépasse pas l'horizontale, en coordonnées polaires:



(mon repère a l'axe x'ox tourné vers le bas)

est le fameux angle au centre de l'ellipse.



or

d'où:


après simplification,l'angle au centre (moitié) de l'ellipse:
valable si

si l'eau dépasse la moitié, ça se complique. ça vient du fait
que vû que mon repère de travail,
d'orientation directe, depuis le début , a l'axe x'ox vers le bas.




ça ne se simpplifie pas de la même manière:




dans cette dernière formule, l'arctangente est négatif ()
faut espérer que les deux formules se recollent en n=a. :we:

évidemment, concernant la tangente, c'est cool. En effet, on a, simplement et dans tous les cas:

[Anonyme]

Salut,

Merci pour tous ces calculs détaillés, même si je m'y perds un peu. Je suis novice en trigo et j'ai oublié de préciser que j'effectue tous ces calculs de Pm et Sm sur Excel avec des hauteurs n qui varient à chaque ligne.
Et je ne sais pas comment je vais pouvoir transposer ta formule sous Excel étant donné qu'Excel ne gère pas les intégrales.

Merci de ton aide.

[mathelot]

Et je ne sais pas comment je vais pouvoir transposer ta formule sous Excel étant donné qu'Excel ne gère pas les intégrales.

Quelle intégrale ? Y a plus d'intégrale. je vois une somme de sinus dépendant d' un angle theta. :doh:





est le double de l'arc d'ellipse IM

[mathelot]

Autre chose : la relation entre les 2 angles n’est pas vraie dans mon cas.
h/2*COS(;)/2) l/2*COS(;)/2)
a*COS(;)/2) b*COS(;)/2)
avec l’angle au centre du cercle (rayon = a) variant entre 0 et Pi.

Est-il possible d’avoir le calcul de l’angle avec a, b et n comme pour le calcul de .
= 2*ACOS(1-(n/a))

Merci d’avance.

Le 24 juillet, j'ai complétement réalisé que l'angle qui paramétrait l'ellipse était l'angle au centre des cercles (c'est le même pour les deux cercles) et non pas l'angle polaire du point de l'ellipse. :hum: bah oui, on ne peut faire
de trigo avec l'angle polaire de l'ellipse car ce n'est pas rond :zen:
enfin plus exactement, les deux angles paramètrent l'ellipse mais les calculs
intégrales se font avec l'angle au centre des cercles.

Mes calculs sont donc justes (ils viennent de la trigo) et mes explications ...fausses :hum: j'ose jurer: m....,m..... et m..........

[mathelot]

je continue de regarder:

- le périmètre mouillé se calcule avec une intégrale elliptique
de seconde espèce
- il existe un algorithme de moyenne arithmético-géométrique comportant des suites récurrentes qui convergent vers ce type d'intégrale
- l'algo converge quadratiquement, c'est à dire vite
- la borne de l'intervalle d'intégration de l'intégrale elliptique est l'angle au centre
- cet angle est relié au niveau d'eau par


tout ceci conduira à un algorithme, n'en doutons pas.

[samirovitch birochov]

salut tt le monde
je cherche la formulation mathematique pour calculer la surface d'un ellpise
merci :happy2: