Surface d'une ellipse en un point donné

[pinpin]

Bonjour.
Bien que je sois nul en math je suis amené à intégrer des formules plus ou moins complexes dans mes programmes d'automatisme. En général je m'en sort bien mais actuellement je butte sur un problème.

Il s'agit d'une canalisation d'eau en forme d'ellipse horizontale. Le niveau de l'eau est variable. Je cherche une formule pour déterminer la section mouillée de l'ellipse en fonction du niveau d'eau, la surface qu'occupe l'eau si vous préférez.

Tout ce que je sais déterminer c'est la surface conduite pleine (2.5m de large, 1.8m de haut donc 3.54m2 de surface).

Pourriez-vous m'aider ? Je suis vraiment dans l'impasse.

[mathelot]

salut,

l'année dernière, sur ce même forum , on a calibré les égouts d'Alger ou d'une autre ville d'Algérie (indéfinie). On a a aussi calibré des évacuations de lavabos.

adapter loi de Bazin à l'ellipse.

Concernant l'aire, pas de souçi. Le périmètre est donné par une intégrale elliptique, là je ne vois pas, prendre une valeur moyenne ou développer
l'intégrande en série ?


faut il adapter les lois de Bazin ?
y a t il des spécifications techniques au projet ?
est-ce que tout ça peut attendre dimanche ?

[pinpin]

Merci d'avoir répondu
Ca peut effectivement attendre dimanche. Je part mardi prochain mettre l'application en route.

Je connais la loi de bazin que j'utilise en général sur les seuils déversants. Pour des canalisations (rondes) j'utilise plutôt une formule manning strikler.

Mon problème n'est pas de déduire le débit en intégrant des pentes et des coefficients de rugosité, il me faut juste calculer la surface mouillée dans une ellipse.

La finalité est bien la détermination du débit mais cette partie du calcul ne me pose pas de problèmes. En fait j'ai un capteur de vitesse, ça me permet avec la mesure de niveau et ma fameuse surface inconnue de calculer le volume d'eau en transit.

Je vais m'étendre sur le sujet. Si j'ai besoin de faire ce calcul c'est parce que mon transmetteur de débit qui est censé faire tout ce travail à ma place délivre un signal 4-20mA que j'utilise sur une entrée analogique d'un automate dont la résolution est de 12 bits. Cette faible résolution, après mise à l'échelle dans l'automate me donne une précision à 10m3/h près sur une plage de mesure de 0 à 42300m3/h. Pour l'application envisagée ce n'est pas acceptable.
Comme je récupère les signaux des capteurs (hauteur + vitesse) de la même manière mais dont les plages dans leur unité respectives sont moins larges je préfère faire le calcul dans mon automate et ainsi améliorer énormément la précision du débit déterminé (calcul 32bits). Cette méthode donnera un résultat encore plus précis que le transmetteur de débit lui-même car ce dernier intègre la forme de l'ellipse par points de linéarisation.

Bref il ne me faut que la surface d'eau dans l'ellipse. Je vais quand même relire le topic (lien que vous m'avez donné) pour extraire ce qui m'intéresse mais j'ai déjà mal au crâne

J'ai une partie de la formule :

[mathelot]

il ne me faut que la surface d'eau dans l'ellipse.

re,

on prend un repère orthonormé , dirigé vers le bas, dirigé vers la droite, direct
(sens anti-horaire).

En regardant selon le repère, on incline la tête sur l'épaule droite. :zen:


L'équation de l'ellipse est


elle est fonctionnelle sur le bord droit du tuyau (La tête revient à la verticale):


La surface mouillée est fonction, notée S, de x:


On fait le changement de variable

l'élément différentiel est:

vaut:




on linéarise:










en effet:



avec .

Les angles sont mesurés en unités radians

pour utiliser la fonction

Quand ,

[pinpin]

Merci pour tes conseils. Je suis l'auteur d'un site d'aide (moto) dans lequel j'investit beaucoup de mon temps, je suis content de trouver des gens compétents pour m'aider à mon tour, c'est rare.

Les résultats que j'obtient sont plus cohérents en utilisant ta formule



avec :
a=2.5m
b=1.8m
x=1.80m

Pour la hauteur d'eau je met x=a-niveau (par rapport au fond de l'ellipse)
et ma surface = S(x)/2

Cela me donne 3.53m2 ce qui est conforme à la surface totale de l'ellipse.
Jusque la tout va bien.

En mettant x à 0.90m je suis censé trouver la moitié de la surface totale.
Je trouve 1.38m2 au lieu de 1.76m2.

Un collègue m'a créé une abaque sur 21 points de niveau dont les surfaces sont calculées sur Autocad, en comparaison avec la formule :

Niveau ...Autocad ...Formule
(m) . ... (m2) ...... (m2)
0,05 ...0,02755 ...0,01955
0,1 ...0,07724 ...0,05509
0,15 ...0,14067 ...0,10077
0,2 ...0,21466 ...0,15448
0,25 ...0,29728 ...0,21496
0,3 ...0,38718 ...0,28134
0,4 ...0,58481 ...0,42932
0,5 ...0,80112 ...0,59457
0,6 ...1,03127 ...0,77437
0,7 ...1,27129 ...0,96662
0,8 ...1,51766 ...1,16962
0,9 ...1,76714 ...1,38191
1 ...2,01663 ...1,60223
1,1 ...2,263 ...1,82946
1,2 ...2,50302 ...2,06255
1,3 ...2,73317 ...2,30055
1,4 ...2,94948 ...2,54258
1,5 ...3,14711 ...2,78777
1,6 ...3,31963 ...3,03532
1,7 ...3,45705 ...3,28442
1,8 ...3,53429 ...3,53429

L'erreur est trop importante. Je révise la rédaction de la formule sur Excel, j'ai peut être dérapé quelque part.

[mathelot]

re,

il est possible que les erreurs viennent de l'implémentation
de la fonction arccos sous excel.

Calcul de u=arccos(a).

a étant donné, il s'agit de calculer u, c'est à dire l'arc correspondant à a,

équation d'inconnue u: cos(u)-a=0

Il y a une méthode simplissime pour résoudre ce genre d'équation,
la méthode de Newton.

il suffit d'implémenter la routine suivante avec :

CalcArcCos()
input a //accepter
x:=0,5 //initialiser x
faire 20 fois:

return x //retourne arccos(a)

Il ne faut pas que a soit trop proche de 1.
si a <=0 renvoyer - CalcArcCos(-a)

[pinpin]

il est possible que les erreurs viennent de l'implémentation
de la fonction arccos sous excel.

Intéressant. Je programme le calcul mardi, je verrai la réaction d'arccos calculée dans l'automate. Le cas échéant je tenterai de programmer une correction.

[mathelot]

euh, par curiosité, ce sont des tuyaux d'égouts ?

[pinpin]

C'est bien ça, les eaux pluviales principalement et en partie des eaux usées parasites.

[pinpin]

Après vérification manuelle les erreurs sont toujours la.

Finalement ce matin, à force de retourner le problème, voilà ce qui en ressort :

Pour l'angle :
x=ACOS(((h/2)-n)/(h/2))*2

enfin la surface :
S=0.5*(l/2)*(h/2)*(x-SIN(x))

h = hauteur de l'ellipse (m)
l = largeur de l'ellipse (m)
n = niveau d'eau dans l'ellipse (m)
S = surface (m²)

Les résultats correspondent aux surfaces calculées sur Autocad.

Ce calcul me permet enfin de déterminer le débit dans l'ellipse. En effet j'ai un capteur qui mesure la vitesse de l'écoulement en m/s.
Pour ceux que ça intéresse donc la suite :

Q(débit en m3/h)=Surface (m²)*vitesse (m/s)*3600

MErci encore une fois Mathelot pour ton aide, j'ai mal au crane mais la conscience tranquille pour mettre tout ça en pratique demain.

[mathelot]

Après vérification manuelle les erreurs sont toujours la.

Finalement ce matin, à force de retourner le problème, voilà ce qui en ressort :

Pour l'angle :
x=ACOS(((h/2)-n)/(l/2))*2

j'ai corrigé la formule. au dénominateur , ce n'est pas h mais l.

[mathelot]

S=0.5*(l/2)*(h/2)*(x-SIN(x))

il y a une deuxième erreur.

Si on regarde le schéma de l'égout (cf post de 22h08),
il y a deux angles en jeu:

en gris qui paramètre le cercle.

un angle au centre, plus petit que , je le nomme , en noir, qui paramètre l'ellipse.

(lire "téta sur deux")

la surface mouillée S doit être calculée avec et pas avec . C'est ce que j'ai écrit dans mes formules.
j'utilise pas l'angle .

[en fait, j'avais tort. C'est bien l'angle au centre des cercles qui paramètre
l'ellipse, et non l'angle polaire du point de l'ellipse]

la relation entre les deux angles est (avec tes notations)



mais je comprend parfaitement pourquoi tu travailles avec

- c'est une approximation
- ça donne les même formules que la loi de Bazin.

en tout cas, corrige le calcul de l'angle x.

cordialement,

[mathelot]

re,

je réécris "ma" formule avec tes notations:

c'est la même formule mais les notations changent:

devient

devient

peut monter jusqu'à .

Ma formule de la surface mouillée , avec les nouvelles notations, devient:

(lire "sigma de n"=sigma en fonction du niveau )



là, ça devrait être nickel.

[mathelot]

ok, c'est finalisé.

[mathelot]

Dans cette formule (exacte) qui vient du calcul d'aire dans l'ellipse,
est la variable "angle au centre" de l'ellipse
et sa valeur est pour une abscisse


on peut confondre avec l'angle pour simplifier :
J'ai crû comprendre que ce sont les usages du métier.

il faudrait alors prendre comme formule approchée:



ce qui serait joli , car proche de la loi de Bazin.

ceçi dit, la formule exacte, vraiment exacte, est et reste:

[Anonyme]

Bonjour,

Je suis confronté au même problème que pinpin.

J'effectue une campagne de mesure de débit en réseau d'eau pluvial, et j'aurais besoin des formules de calcul de la surface mouillée (Sm) et du périmètre mouillée (Pm) en fonction de la hauteur d'eau (n) dans un ouvrage en ellipse.

Caractéristique de l'ouvrage : ovoïde T1300 hauteur = 1,30 m (a=0,65) largeur = 0,80m (b=0,40) donc surface totale = 0,817m² et périmètre total = 3,39m.

Est il possible d'avoir ces formules en fonction de : a, b et n ou h, l et n.

merci d'avance

[mathelot]

j'aurais besoin des formules de calcul de la surface mouillée (Sm)

Bjr,
C'est fait ! dans le post de 14h41.
écris-moi ce que tu ne comprends pas.

et du périmètre mouillée (Pm) en fonction de la hauteur d'eau (n) dans un ouvrage en ellipse.

Il faut que je regarde. Le périmètre d'une ellipse (périmètre mouillé)
est une intégrale elliptique, c'est à dire une fonction mathématique difficile,
que je ne sais pas bien traiter.

Quid du périmètre ? un algorithme de calcul ?
une valeur approchée ? Il me semble que Srivanasa Ramanujan a indiqué des formules de valeurs approchées du périmètre de l'ellipse.

De quelle machine et quelles routines dispose tu pour effectuer des calculs ?
qu'est ce un automate ? ça se programme en quoi ? en binaire ?
en assembleur ? en C++ ? y-a-t-il des fonctions trigonométriques ?

[Anonyme]

Merci Mathelot pour ta réponse et tes recherches pour la formule du périmètre mouillée.

Donc si je reprends la formule de la surface mouillée du post de 14h41

Sm=((h*l)/4)*(ACOS(1-(2n/h)-(2/h)*(1-(2n/h))*(n*(h-n))^0,5)

avec h la hauteur en mètre (le plus grand axe = 2a)
l la largeur en mètre (l'axe le plus petit = 2b)
n le niveau de l'eau dans l'ellipse en mètre

Existe-t-il une formule approchée plus simple ?
Pour info, j'utilise Excel pour calculer le débit avec la formule de Manning
Q = k*i^0,5*(Sm/Pm)^2/3*Sm avec i la pente et k le coef de rugosité.

Si non pour le périmètre je sais seulement le calculer pour une section pleine
Pm = 2*Pi()*(1/2(a^2+b^2))^0,5 = Pi()*(2*(a^2+b^2))^0,5
Mais comme tu le dis ça devient nettement plus compliqué quand ont veux calculer le périmètre mouillé pour une hauteur donnée (n).
Je suis incapable de trouver la solution et une formule rapprochée me satisfera amplement.

Merci d'avance

[mathelot]

Existe-t-il une formule approchée plus simple ?

oui,celle çi où l'on remplace l'angle au centre de l'ellipse par l'angle
au centre du cercle (cf schéma de pinpin, post n°3 de 22h08)

[mathelot]

re,

pour le périmètre mouillé, il y a du travail.

On pose h=2a=1,3 mètres , l=2b=0,8 mètres

Soit l'abscisse curviligne de l'ellipse. C'est la longueur de périmètre,fonction notée , fonction de l'angle au centre
du grand cercle. Un point de l'ellipse du bord droit est donc repéré par l'angle au centre du cercle.

On applique le théorème de Pythagore à un segment infinitésimal
du périmètre elliptique



Un segment d'ellipse est obtenu sur le bord droit du tuyau par:





on différentie:



le périmètre mouillé est donné par la formule exacte:


on pose
l'excentricité de l'ellipse



On va calculer une formule approchée de l'intégrande avec

On effectue la transformation d'Euler pour améliorer la convergence de la série de Taylor de l'intégrande . Après cette transformation , on va développer en série:


la fin consiste à:

- développer l'intégrande en série
- utiliser la formule de Stirling asymptotique de n! pour obtenir simplement un majorant du reste
- linéariser les puissances de cosinus à intégrer avec la formule de Moivre

:dodo: