L'aire d'une ellipse

[MrPatate]

Bonsoir

je dois calculer l'aire de d'une ellipse dans le plan xy décrite par l’équation:

x²/a² +y²/b²=1

Et pour le coup je vois pas mais alors vraiment pas comment démarrer... et c'est pas le première foi que je but sur se genre de problème, auriez vous une méthode pour résoudre ce type d'exo? u au moins me guider....


d'avance merci!

[chan79]

Bonsoir

je dois calculer l'aire de d'une ellipse dans le plan xy décrite par l’équation:

x²/a² +y²/b²=1

Et pour le coup je vois pas mais alors vraiment pas comment démarrer... et c'est pas le première foi que je but sur se genre de problème, auriez vous une méthode pour résoudre ce type d'exo? u au moins me guider....


d'avance merci!

il y a une formule
aire = ab
il s'agit de la démontrer ?

[MrPatate]

il y a une formule
aire = ab
il s'agit de la démontrer ?

dans la question il dit calculer donc je pense que c'est ce que nous devons démontrer :/ ca m’étonnerait que sortir la formule suffise. Je pense qu'il faut passer pas une intégrale mais je vois pas du tout comment la poser...

[Peacekeeper]

dans la question il dit calculer donc je pense que c'est ce que nous devons démontrer :/ ca m’étonnerait que sortir la formule suffise. Je pense qu'il faut passer pas une intégrale mais je vois pas du tout comment la poser...

En utilisant l'équation de l'ellipse et en exploitant les symétries: il suffit de calculer l'aire d'un quart d'ellipse et de multiplier par 4. :lol3:

[globule rouge]

Oui, enfin j'ai traité ce sujet il n'y a pas longtemps, et ma méthode ne nécessite pas d'intégration. Il te faut juste des limites.

En ayant dessiné ta figure, a est le demi-grand axe et b le demi-petit axe. On l'inscrit dans un repère (O,x,y) dont l'origine est le milieu du segment [FF'] (représenté par les deux foyers).

L'équation de cette ellipse est donc .
on isole y :
D'où (on ignore la partie négative qui n'est autre que la moitié du bas de l'ellipse).

On s'intéresse désormais au quart droit supérieur de l'ellipse.
On découpe la longueur a en n segments de longueur donc l'aire délimitée par l'ellipse et le demi-grand axe droit est partagée en deux séries de rectangles. Une série majore, l'autre minore.
On va s'occuper de la série minorante seulement, car on utilise les limites, ce qui arrange les choses.



Maintenant, laissons place à la magie : si a=b, nous avons un cercle, et l'aire d'un quart supérieur de ce cercle vaut d'où par analogie (mais c'est pas joli comme démonstration ^^).

On multiplie le tout par 4 et on tombe sur


Julie

[globule rouge]

Après, pour une démonstration moins foireuse et plus conventionnelle, tu pourras poser quelques changements de variable.

[Dlzlogic]

Bonsoir, si on admet la formule de l'aire du cercle, l'ellipse étant étant la transformée de du cercle par affinité, c'est plus directe, mais il faudrait l'approbation des théoriciens.
Malheureusement cette méthode de convient pas pour le calcul du périmètre de l'ellipse.
Ca pourrait faire l'objet d'un défi.
PS Julie, j'aime bien ta démo.

[MrPatate]

merci pur vos reponses.

Julie ta méthode me donne des boutons... mais je la garde pour plus tard!


je pensais plus a un méthode dans le style de ce que propose Peacekeeper, par contre j'ai toujours le même souci je vois pas comment poser le problème :mur:

[Peacekeeper]

merci pur vos reponses.

Julie ta méthode me donne des boutons... mais je la garde pour plus tard!


je pensais plus a un méthode dans le style de ce que propose Peacekeeper, par contre j'ai toujours le même souci je vois pas comment poser le problème :mur:

Je ne me souviens plus exactement comment on fait, mais va faire un tour là-dessus c'est bien expliqué et c'est concis. :lol3:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipse_%28math%C3%A9matiques%29

[MrPatate]

Je ne me souviens plus exactement comment on fait, mais va faire un tour là-dessus c'est bien expliqué et c'est concis. :lol3:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipse_%28math%C3%A9matiques%29

ok merci je vais voir ca.



par contre du coup il y a une deuxième question dans l'exo (sinon c'es trop facile ^^)

question:calculer la volume engendré par cette ellipse en tournant sur l'axe y.

une idée sur la démarche?

[Peacekeeper]

ok merci je vais voir ca.



par contre du coup il y a une deuxième question dans l'exo (sinon c'es trop facile ^^)

question:calculer la volume engendré par cette ellipse en tournant sur l'axe y.

une idée sur la démarche?

Hm, non, désolé mais je ne sais plus du tout comment on fait... :/

[MrPatate]

j'ai un souci avec la deuxième étape pour moi on ne peux pas sortir le "a" de la racine ...
et le passage de x a t reste obscure aussi...




Et j'ai aussi un probleme sur la dernière étape.

on pose cos²u= (1+cos2u)/2 (formule trigo) qu'on integre (1/2+(cos2u)/2 )du ===> [(1/2)u + sin2u/4] de 0 a pi/2

et l'application num donne: 1/2*pi/2 + sin(pi)/4 - (1/2*0 + sin 0 /4) = pi/4 - 1/4

soit au final ab*(pi/4 -1/4)*4 (pour avoir l'aire totale) et du coup j'ai pas le bon résultat au final :/

[Pythales]

Hm, non, désolé mais je ne sais plus du tout comment on fait... :/

Tu peux aussi poser , avec

[chan79]

ok merci je vais voir ca.



par contre du coup il y a une deuxième question dans l'exo (sinon c'es trop facile ^^)

question:calculer la volume engendré par cette ellipse en tournant sur l'axe y.

une idée sur la démarche?

tu sommes les volumes des cylindres de hauteur dh
h varie de 0 à b
le résultat doit être multiplié par 2
si r est le rayon des disques tu as r²/a²+h²/b²=1
Tu trouves 4
[img][IMG]http://img3.imageshack.us/img3/1999/ell.png[/img][/IMG]

[Peacekeeper]

j'ai un souci avec la deuxième étape pour moi on ne peux pas sortir le "a" de la racine ...
et le passage de x a t reste obscure aussi...

Ils effectuent un changement de variable en posant t=x/a. Je suis en train de chercher d'où vient le a devant l'intégrale...

[Peacekeeper]

Tu peux aussi poser , avec

En effet, ça devrait marcher. :we:

[MrPatate]

Ils effectuent un changement de variable en posant t=x/a. Je suis en train de chercher d'où vient le a devant l'intégrale...

si t²=a²/x² alors x=at donc dx=adt non?

d'ou le a

[Peacekeeper]

si t²=a²/x² alors x=at donc dx=adt non?

d'ou le a

Ah oui, au temps pour moi, vraiment... :p Merci beaucoup, c'est bien ça. :++:

[MrPatate]

j'ai aussi un probleme sur la dernière étape.

on pose cos²u= (1+cos2u)/2 (formule trigo) qu'on integre (1/2+(cos2u)/2 )du ===> [(1/2)u + sin2u/4] de 0 a pi/2

et l'application num donne: 1/2*pi/2 + sin(pi)/4 - (1/2*0 + sin 0 /4) = pi/4 - 1/4

soit au final ab*(pi/4 -1/4)*4 (pour avoir l'aire totale) et du coup j'ai pas le bon résultat au final :/

[Peacekeeper]

j'ai aussi un probleme sur la dernière étape.

on pose cos²u= (1+cos2u)/2 (formule trigo) qu'on integre (1/2+(cos2u)/2 )du ===> [(1/2)u + sin2u/4] de 0 a pi/2

et l'application num donne: 1/2*pi/2 + sin(pi)/4 - (1/2*0 + sin 0 /4) = pi/4 - 1/4

soit au final ab*(pi/4 -1/4)*4 (pour avoir l'aire totale) et du coup j'ai pas le bon résultat au final :/

J'ai fait le calcul de [(1/2)u + sin2u/4] de 0 a pi/2 et je trouve bien Pi/4...

N'oublie pas que c'est sin2u donc en Pi/2 on trouve sin(Pi)=0