Elements inversible de K[X,Y,Z]/X(1-YZ)

[chombier]

Bonjour à tous,
Dans le Perrin (page 46), il est montré que dans un anneau intègre A, les éléments associés à sont les éléments de la forme , avec , autrement dit la classe d'équivalence pour la relation "être associé à" est

Dans un anneau qui n'est pas intègre, il peut y avoir des éléments associés à qui ne sont pas dans .

Perrin donne l'exemple de A=K[X,Y,Z]/X(1-YZ). Il note x, y et z les images de X, Y et Z par la projection canonique. Ainsi, et sont associés() , et il laisse le lecteur vérifier qu'il n'existe pas d'élement inversible tel que . Et c'est là que je bloque.

J'ai réfléchi un peu, et j'ai quelques résultats :
si et ,
si et ,
si et ,

autrement dit, on peut "réduire" tous les monomes de la forme où à des monomes de la forme ou

Je n'arrive pas à trouver les inversibles de A, ni à prouver que si u est un inversible de A alors

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Soit dont l'image dans est inversible. Alors son image dans est inversible.
Montre que ça entraîne que où est une constante non nulle.
L'image de dans est aussi inversible. Déduis-en que est divisible par .

[chombier]

Merci beaucoup, c'est plus compliqué que ce que je ne pensais. Quotienter A qui est déjà un quotient, ce n'est pas dans mes habitudes. J'ai du mal à visualiser il faut dire.

On a un premier anneau .
est un idéal (principal) de K. On peut donc quotienter.
On pose . Les images de X, Y et Z sont x, y et z.
Par exemple, , c'est l'ensemble des polynomes de K[X, Y, Z] qui, quand on les divise par , il reste X. Ca existe la division euclidienne dans ?

J'ai du mal à visualiser l'ensemble quotient. Quand je quotiente K[X] par X^2-1, j'ai un représentant de chaque classe : un polynome du premier degré, que j'obtiens en divisant par X^2-1 et en gardant le reste.
L'ensemble des polynomes de degré inférieur ou égal à 1 est un ensemble de représentants des classes d'équivalence. Et pour trouver le représentant d'un polynome, on peut diviser ou appliquer X^2=1.

Bon, ceci dit, dans Z[X], si je quotiente par (2X+1), je n'ai pas de division euclidienne...
Dans ce cas, je me dis que P et Q sont dans la même classe d'équivalence si 2X+1 divise P-Q
Du coup, 5x = x-2 car 5x-(x-2)=4x+2=2(2x+1). Mais 2x^8 = -x^7 car 2x^8 +x^7 = x^7(2x-1)
4x^8=x^5. Il suffit de retenir que 2x=-1. Mais alors x^7 n'est pas simplifiable.

En voila un drôle d'anneau, Z[X]/(2X+1). Je me demande s'il est isomorphe à un truc plus simple...

[GaBuZoMeu]

Je trouve que tu papillonnes un peu. Restons sur le problème de départ, veux-tu ?

Par exemple, , c'est l'ensemble des polynomes de K[X, Y, Z] qui, quand on les divise par , il reste X. Ca existe la division euclidienne dans ?

Je dirais plutôt que , la classe de , c'est l'ensemble des polynômes tels que divise . Il n'y a pas de division euclidienne dans l'histoire.

Quels sont les problèmes que tu rencontres pour voir les isomorphismes
?

[chombier]

J'arrive bien à comprendre que mais je ne vois pas pourquoi

L'ensemble K[X,Y,Z] m'est familier mais A beaucoup moins.

L'injection canonique de dans A est :
,


Les éléments de A sont donc des ensembles de polynomes.
x est l'un d'entre eux :

La structure d'espace vectoriel me permet d'affirmer que si alors

En quelque sorte, A=K[x,y,z] mais x,y et z ne sont pas des indéterminées, ce sont des éléments de A.

A est un anneau donc (x) est principal donc A/(x) est un anneau.

L'injection canonique de dans A/(x) est :
,

Peut-être que je peux affirmer que A/(x) = K[x,y,z]/(x) = K[y, z] mais K[x,y,z] n'étant pas un anneau de polynomes, ça ne me parait pas si clair que ça.

[GaBuZoMeu]

Ne pas confondre injection et surjection (canonique).

Il ne faut pas rester bloqué par la vision du quotient comme ensemble de classes d'équivalence. C'est bien sûr correct, mais pas très opératoire.

Quotienter un anneau commutatif par un idéal , c'est "tuer" , obliger ces éléments à être nul. Quand tu quotientes par l'idéal engendré , tu tues ; ensuite, quand tu quotientes par l'idéal engendré par (l'image de) , tu tues . Mais tu serais arrivé au même résultat en tuant directement , puisqu'en tuant on tue . Ce qui compte ici c'est que divise , autrement dit que l'idéal engendré par contient celui engendré par .

De manière générale, si sont deux idéaux d'un anneau commutatif tels que , alors .