Ordre des éléments d'un groupe à 6 élements

[flocaz]

Bonjour !!

voilà mon exo :

soit G un groupe à 6 éléments

a) montrer qu'il existe au moins un élément d'ordre 3 :

pour cela, notre prof nous a conseillé de scinder en 2 parties :
-si il existe un élément d'ordre 6, on en conclut facilement qu'il en existe aussi un d'ordre 3, grâce à un jeu sur les puissances.
-sinon... et la je bloque, sachant que dans ce cas, on ne tient pas compte de 6, ni 5 ni 4 ( car ils ne divisent pas 6, Lagrange...)


Merci beaucoup pour votre aide!!!

bonne sorée

[ffpower]

Doit y avoir pas mal de moyens(on peut de toute facon facilement les classifier les groupes d ordre 6).En tout cas,comme tu dis ya pas d éléments d ordre 4,5,6.Si y en a pas non plus d éléments d ordre 3,reste plus beaucoup d ordres possible^^

[ThSQ]

Une façon élémentaire parmi tant d'autres :

Comme tu l'as dit, sinon tous les éléments (!= 1 ...) sont d'ordre 2.
Mézalor tu vérifieras facilement que si a et b sont 2 éléments distincts et != 1 { 1,a,b,ab=ba } est un sous-groupe d'ordre 4 (biscotte ab = ab^-1 = ba, ...) ce qui devrait fâcher beaucoup tonton Lagrange.

[flocaz]

merci bien à tous les deux ;)
bonne soirée !!

[flocaz]

entre temps, j'ai pensé à autre chose :
si tous les élément sont d'ordre 2, j'ai x²=1 ( mon neutre ) et donc x*x=1

Mais étant un groupe, chaque x a son symétrique, et donc j'ai x*sym(x)=1

j'arrive a une incohérence...

c'est démontrable comme ca ?


merci :d

[ffpower]

ben on a x=x^{-1}....x est son propre inverse,ca peut arriver..(deja,c est toujours le cas du neutre,c est aussi le cas de -1 dans (R*,x)