Bonjour à tous,
Dans le Perrin (page 46), il est montré que dans un anneau intègre A, les éléments associés à sont les éléments de la forme , avec , autrement dit la classe d'équivalence pour la relation "être associé à" est
Dans un anneau qui n'est pas intègre, il peut y avoir des éléments associés à qui ne sont pas dans .
Perrin donne l'exemple de A=K[X,Y,Z]/X(1-YZ). Il note x, y et z les images de X, Y et Z par la projection canonique. Ainsi, et sont associés() , et il laisse le lecteur vérifier qu'il n'existe pas d'élement inversible tel que . Et c'est là que je bloque.
J'ai réfléchi un peu, et j'ai quelques résultats :
si et ,
si et ,
si et ,
autrement dit, on peut "réduire" tous les monomes de la forme où à des monomes de la forme ou
Je n'arrive pas à trouver les inversibles de A, ni à prouver que si u est un inversible de A alors